Enunciado

Determine a coordenada x do centro de massa do hemisfério homogêneo, que teve removida a região hemisférica menor.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  x - =   ∫ x c d V V  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar. Atente que o volume que queremos é a do hemisfério menos a parte removida. Com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume, temos que integrar ele com relação a algo. Observe que estamos nos tratando de uma esfera, ou seja, podemos utilizar das coordenadas esféricas para acharmos o volume. Sabendo que, o volume em coordenadas esféricas é dado por:

d V = r 2 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ d r

Note também, que o ϕ , mostrado no desenho acima, varia de 0 a π , assim como o θ , também varia de 0 a π . Para completar o hemisfério. Já o raio, como é da parte que foi removida varia apenas de R 2 a R .

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o volume é dado por:

V = ∫ d V = ∫ R 2 R ∫ 0 π ∫ 0 π r 2 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ d r  

Não se assuste pela integral! Vamos resolvê-la em parte, de dentro para fora. Assim, resolvendo a de dentro temos:

V = ∫ R 2 R ∫ 0 π r 2 - cos ⁡ ϕ π 0 d θ d r

= ∫ R 2 R ∫ 0 π 2 r 2 d θ d r =   ∫ R 2 R 2 r 2 d r ∫ 0 π d θ =     ∫ R 2 R 2 r 2 π d r  

Logo, o volume é:

V = 2 π r 3 3 R R 2 = 7 12 π R 3

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d V

Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Sabendo que em coordenadas esféricas o x é dado por:

x = r   s i n ϕ   s i n θ

Temos:

∫ x d V = ∫ R 2 R ∫ 0 π ∫ 0 π ( r   s i n ϕ   s i n θ ) r 2 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ d r  

Simplificando:

∫ R 2 R ∫ 0 π ∫ 0 π r 3 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ   d ϕ d θ d r  

Resolvendo-a do mesmo modo que resolvemos a anterior, teremos:

∫ x d V = 15 64 π R 4

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais triplas e coordenadas esféricas que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

x - = ∫ x d V V = 15 64 π R 4 7 12 π R 3 = 45 112 R  

Resposta

  x - = 45 112 R  

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