Enunciado

Calcule a distância h - medida desde a base até o centroide do volume do cone circular truncado.

Passo 1

Sabendo que a equação para encontrar o centroide é dado por:

  z - =   ∫ z c d V V  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação a z e temos o nosso volume.

V = ∫ d V

Agora precisamos deixar em função de z para podermos integrar. O problema nos informa que o cone é circular, dessa maneira se olhamos por debaixo do cone, veremos que a área da base será:

A = π y 2

Logo o volume é dado por:

d V = π y 2 d z

Onde a função que descreve a geratriz é linear e dada por:

y = r h z

Com isso,

d V = π r 2 h 2 z 2 d z

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, atente que a região de integração está entre h 2   e   h . Dessa maneira:

V = ∫ d V =   ∫ h 2 h π r 2 h 2 z 2 d z = π r 2 h 2 ∫ h 2 h z 2 d z

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nosso volume, sendo assim:

V = 7 π r 2 h 24

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ z c d V

Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Com isso,

∫ z c d V = ∫ h 2 h z π r 2 h 2 z 2 d z  

Logo,

∫ z c d V = 15 64 π r 2 h 2

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise este assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

z - = ∫ z c d V V = 15 64 π r 2 h 2 7 π r 2 h 24 = 45 56 h

Passo 5

Calma ainda não acabou! Atente que o problema quer h - , que é da base até o centroide. Sendo assim:

h - = h -   z - = 11 56 h

Resposta

h - = 11 56 h  

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Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide x - do setor circular.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - da área sombreada.