Enunciado

Determine a coordenada y do centroide da área sombreada mostrada. (Observe os cuidados citados no Prob. 5/28).

Passo 1

Sabendo que a equação para encontrar o centroide é dado por:

    y - = ∫ y d A A

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a y e temos a nossa área. Dessa maneira:

A = ∫ d A = ∫ 0 y 0 ( x 1 - x 2 ) d y

Agora precisamos encontrar as funções que corresponde a x, dessa maneira, como são semiciclo pode ser descrito por:

1   x 2 + y 2 = a 2

2   x - a 2 + y 2 = a 2

Isolando x de ambas, temos:

1   x 1 =   + a 2 - y 2

2   x 2 = a - a 2 - y 2

Conhecendo as equações podemos encontrar o ponto de intersecção, pois utilizaremos no limite de integração, com isso:

x 1 = x 2

a 2 - y 2 = a - a 2 - y 2  

Resolvendo teremos:

a = 2 a 2 - y 2

y = y 0 = 3 a 2

Passo 3

Tendo as funções que descrevem o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

A =   ∫ 0 y 0 ( x 1 - x 2 ) d y =   ∫ 0 3 a 2 2 a 2 - y 2 - a d y

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área, sendo que:

A = y a 2 - y 2   + a 2 sin - 1 ⁡ y a - a y 3 a 2 0

A = a 2 π 3 - 3 4 = 0,614 a 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Com isso,

∫ y c d A = ∫ 0 3 a 2 y ( 2 a 2 - y 2 - a ) d y  

Logo,

∫ y c d A = ∫ 0 3 a 2 2 y a 2 - y 2 - a y d y  

Resolvendo teremos:

∫ y c d A = - 2 3 a 2 - y 2 3 - a y 2 2 3 a 2 0 = 5 a 3 24 = 0,208 a 3

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição trigonométrica em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

y - = ∫ y c d A A = 0,208 a 3 0,614 a 2 = 0,339 a

Resposta

  y - =   0,339 a  

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Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide x - da área.