Enunciado

Um instrumento de detecção submarina A está preso ao ponto médio de um cabo de 100 m, suspenso entre dois barcos distando 50 m entre si. Determine a profundidade h do instrumento, que tem massa desprezível. O resultado depende da massa do cabo ou da massa específica da água?

Passo 1

Para esse problema primeiro devemos perceber que nesse cabo, como estão agindo sobre cada pedaço além da tração a força peso e a força do empuxo, que são funções apenas do comprimento, temos a configuração de um cabo caternário. Esse tipo de cabo tem o formato dado pela seguinte equação:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 + K

Escolhendo como origem o ponto mais baixo, temos o ponto ( 0,0 ) pertencendo à curva, então:

0 = T 0 μ + K ⇒ K = - T 0 μ

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1     ( 1 )

Sendo T 0 a tração horizontal no ponto mais baixo da corda e μ a intensidade da força por metro da corda. Outra equação dada pelo livro nos diz que para o cabo catenário o tamanho da corda indo da origem até o ponto de coordenada x é dado por:

s = T 0 μ senh ⁡ μ x T 0       ( 2 )

Então devemos achar o valor de T 0 utilizando a eq. (2), e então aplicar a eq. (1) para encontrar o valor de h .

Passo 2

Vamos primeiro aplicar a eq. (2) para achar o valor de T 0 . Temos:

s = T 0 μ senh ⁡ μ x T 0 ⇒ μ s T 0 = senh ⁡ μ x T 0

Não temos ainda o valor de μ , que é a força que a corda sofre por metro de comprimento, devido ao peso e ao empuxo. Vamos deixar só em função de μ , pois não sabemos ainda se o resultado irá depender da massa da corda m e da densidade ρ da água. Pela simetria, sabemos que o comprimento da corda da origem até a abscissa x = 25   m é metade da corda e igual a 50 m. Então:

50 μ T 0 = senh ⁡ 25 μ T 0

Vamos chamar a razão de μ / T 0 de z . Nossa equação em função de z é:

50 z = senh ⁡ 25 z

Resolvendo com auxílio de um computador, chegamos ao valor de z > 0 :

z = μ T 0 = 0,0871   m

Passo 3

Agora vamos olhar para a eq. (1). Ela dá a coordenada y da corda em função de x :

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Sabemos que a extremidade da direita tem coordenadas ( 25 ,   h ) , então substituímos:

h = T 0 μ cosh ⁡ 25 μ T 0 - 1

Mas já calculamos no Passo 2 a razão μ T 0 = 0,0871 e então substituímos:

T 0 μ cosh ⁡ 25 μ T 0 - 1 = 1 μ T 0 cosh ⁡ 25 μ T 0 - 1

= 1 0,0871 cosh ⁡ 25 × 0,0871 - 1 = 3,469 0,0871

⇒ h = 39,8   m

Resposta

h = 39,8   m

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