Localize o centroide x^- da área.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema temos uma figura hachurada que é descrita pela equação

x y = c 2

Definida entre a e b .

A partir daí temos que encontrar seu centroide x - .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para encontrar a coordenada x - do centroide de uma figura podemos aplicar a seguinte fórmula:

x - = 1 A ∫ x y d x

Em que A é a área da figura.

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar calculando a área da figura.

Pra isso podemos isolar y em um lado da igualdade como:

x y = c 2 → y = c 2 x

Assim, se x é definido entre a e b , temos que:

A = ∫ a b y d x = ∫ a b c 2 x d x

Calculando a integral, vamos chegar em:

A = ∫ a b c 2 x d x = c 2 ln ⁡ x a b

A = c 2 ln ⁡ b - ln ⁡ a

A = c 2 ln ⁡ b a

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora temos que calcular a integral

∫ x y d x

Como y = c 2 x , temos:

∫ x c 2 x d x

∫ c 2 d x

Como x é definido entre a e b ...

∫ a b c 2 d x = c 2 b - a

E finalmente, substituindo na fórmula de x - :

x - = 1 A ∫ x y d x = c 2 b - a c 2 ln ⁡ b a

x - = b - a ln ⁡ b a

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

x - = b - a ln ⁡ b a

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