Enunciado

Determine a coordenada z do centróide do sólido retangular com o segmento esférico (menos de um hemisfério) removido. O centro do hemisfério do qual o segmento é uma porção está localizado a uma distância R / 4 acima do centro da face superior do sólido, e z é medido para cima a partir da face inferior. Consulte os resultados do Prob. 5/34.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a coordenada Z - do centroide do conjunto formado por um sólido retangular subtraído de uma porção de esfera cujo centro está a uma distância R / 4 acima da face superior do sólido.

Então bora resolver! Para determinar a coordenada Z - do centroide, temos:

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m = ∑ ( ρ V z - ) ∑ ρ V = ∑ ( V z - ) ∑ V

Ou seja, precisamos definir os volumes dos dois elementos que definem o conjunto: o paralelepípedo V 1 e a porção de esfera V 2 . O primeiro nós obtemos facilmente pelas dimensões dadas, já V 2 temos pelo Prob. 5/34, conforme sugerido pelo enunciado.

V 1 = 2,5 R * 2,5 R * 1,5 R = 75 8 R 3

V 2 = - 27 64 π R 3

Passo 2

Tranquilo né? Além dos volumes, precisamos das componentes z - dos centroides dos dois objetos. Para o paralelepípedo V 1 :

z - 1 = 1 2 1,5 R = 3 4 R

E para a meia esfera, também pelo Prob. 5/34 temos que z - ' = 25 48 R medido a partir do centro da esfera. Assim, medido à partir da base do sólido, temos:

z - 2 = 1,5 R + R 4 - 25 48 R = 59 48 R

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos elementos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

Z - = ∑ ( V z - ) ∑ V = V 1 z - 1 + V 2 z - 2 V 1 + V 2

Z - = 75 8 R 3 * 3 4 R - 27 64 π R 3 * 59 48 R 75 8 R 3 - 27 64 π R 3

Z - = 0,671 R

É só isso, galera. Bem de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

Z - = 0,671 R

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