Enunciado

Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

x - = ∫ x d A A   e   y - = ∫ y d A A

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Primeiro vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a x e temos a nossa área. Dessa maneira:

A = ∫ d A = ∫ 0 a y d x

Agora precisamos entrar as funções que corresponde a y:

Note que, a parte mais externa é descrito por um semiciclo de raio a, assim a equação que descreve esse semiciclo é:

y = a 2 - x 2

Porém a parte mais interna é descrito por uma equação linear, dada por:

y = a 2 - x 2 = a - x 2

Passo 3

Tendo as funções que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

A =   ∫ 0 a y d x =   ∫ 0 a a 2 - x 2   - a - x 2 d x

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área:

A 1 = ∫ 0 a ( a 2 - x 2   ) d x

Aplicar integral por substituição: x = a s i n ⁡ ( u ) .

A 1 = ∫ 0 π 2 a 2 cos 2 ⁡ u d u

Lembre-se da identidade: cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

A 1 = ∫ 0 π 2 a 2 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u = a 2 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 u d u  

A 1 = a 2 2   u + 1 2 sin ⁡ 2 u π 2 0

A 1 = π 4 a 2  

A área dois é dada por:

A 2 = ∫ 0 a a - x 2 d x =   ∫ 0 a a 2 - x 2 d x

A 2 = 1 2 a x - x 2 2 a 0 = 1 4 a 2

Portanto:

A = A 1 - A 2 = π 4 a 2 -   1 4 a 2 = a 2 4 ( π - 1 )  

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Dessa maneira,

∫ x d A = ∫ x a 2 - x 2   - a - x 2 d x

De modo que, essa integral é mais simples do que a que já resolvemos:

∫ x a 2 - x 2   - a x - x 2 2 d x

Logo, por substituição temos:

∫ x d A = - 1 3 a 2 - x 2 3 - 1 2 a x 2 2 - x 3 3 a 0 = a 3 4

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

x - = ∫ x d A A = a 3 4 a 2 4 ( π - 1 ) = a π - 1

Passo 5

Para encontrarmos o centroide em relação a y, teremos que ter um cuidado, o ponto Y na nossa delimitação da área está no meio dos extremos, ou seja,

y c = y 1 + y 2 2

Com isso, antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Note que, de início colocaremos o dA em função de Y:

d A =   y 2 - y 1 d x    

∫ y c d A = ∫ y 1 + y 2 2 y 2 - y 1 d x  

Logo,

∫ y c d A = 1 2 ∫ ( y 2 2 - y 1 2 )   d x

Substituindo a função que descreve a curva teremos:

∫ y c d A = 1 2 ∫ 0 a a 2 - x 2 - a 2 - 2 a x + x 2 4 d x =  

Simplificando:

= 1 8 ∫ 0 a ( 3 a 2 + 2 a x - 5 x 2 ) = 7 24 a 3  

Passo 6

Agora substituindo na equação do centroide, temos:

y - = ∫ y d A A = 7 24 a 3 a 2 4 π - 1 = 7 a 6 π - 1

Resposta

x - =   a π - 1 ;   y - =   7 a 6 π - 1  

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Localize o centroide y ¯ da área sombreada.
Localize o centroide x ¯ da área sombreada.
Localize o centroide x ¯ da área sombreada.
Localize o centroide x ¯ da área.
Localize o centroide y ¯ da área.