Enunciado

O mastro A B está no plano vertical y - z e é sustentado por uma rótula em B e por dois cabos em A . Calcule a força trativa em cada cabo devido à força de 20   k N agindo no plano horizontal e aplicada no ponto médio M do mastro. Despreze o peso do mastro.

Passo 1

O desenho do enunciado já ilustra muito bem as forças envolvidas, então vamos começar escrevendo as tensões T 1 e T 2 em forma vetorial. Isso quer dizer que vamos multiplicar os escalares T 1 e T 2 pelos vetores unitários nas direções de A D e A C , respectivamente:

T → 1 = T 1 - 4   i ^ - 5   j ^ - 10   k ^ 4 2 + 5 2 + 10 2 = T 1 ( - 0,337   i ^ - 0,421   j ^ - 0,842   k ^ )

T → 2 = T 2 4   i ^ - 5   j ^ - 10   k ^ 4 2 + 5 2 + 10 2 = T 2 ( 0,337   i ^ - 0,421   j ^ - 0,842   k ^ )

Vamos escrever a força P em forma vetorial também:

P → = 20   sen ⁡ 20 °   i ^ + cos ⁡ 20 °   j ^ = 6,84   i ^ + 18,8   j ^   k N

Passo 2

Para evitar a força exercida pela rótula em B , vamos calcular o momento em relação ao eixo x . Para isso vamos precisar dos vetores-posição que vão do eixo x até os pontos onde cada uma das forças é aplicada.

Para as forças T → 1 e T → 2 temos:

r → 1 = r → 2 = - 2   j ^   m

E para a força P (que atua no ponto médio do mastro) temos:

r → P = 3 2   j ^ + 10 2   k ^ = 1,5   j ^ + 5   k ^ m

E então o momento em relação ao eixo x é o seguinte:

∑ M x = r → i × F → i   ∙ i ^ = 0

Vamos começar resolvendo os três produtos vetoriais separadamente:

r → 1 × T → 1 = - 2   j ^ × T 1 ( - 0,337   i ^ - 0,421   j ^ - 0,842   k ^ )

r → 1 × T → 1 = T 1 1,684   i ^ - 0,674   k ^

r → 2 × T → 2 = - 2   j ^ × T 2 ( 0,337   i ^ - 0,421   j ^ - 0,842   k ^ )

r → 2 × T → 2 = T 2 1,684   i ^ + 0,674   k ^

r → P × P → = 1,5   j ^ + 5   k ^ × 6,84   i ^ + 18,8   j ^    

r → P × P → = - 94   i ^ + 34,2   j ^ + 28,2   k ^

Mas como nós só vamos considerar as projeções sobre o eixo x (afinal de contas temos que fazer o produto escalar de cada termo por i ^ ):

∑ M x = 1,684   T 1 + 1,684   T 2 - 94 = 0

T 1 + T 2 = 55,81   k N

E essa é nossa primeira equação, precisamos encontrar mais uma.

Passo 3

Agora vamos considerar o momento em relação ao eixo z . Mais uma vez a força em B terá momento nulo, mas precisamos reescrever nossos vetores posição.

Dessa vez vamos fazer os vetores associados a T 1 e T 2 irem até o ponto A (poderia ser qualquer ponto na linha de ação das forças):

r → 1 = r → 2 = r → = B A → = 3   j ^ + 10   k ^

E nem precisamos do produto vetorial para encontrar o momento gerado por P em torno do eixo z (sentido horário):

M P z = - P sen ⁡ 20 ° 3 2 = - 10,26

M → P z = - 10,26

Falta então calcular o momento das forças T 1 e T 2 no eixo z :

r → 1 × T → 1 ∙ k ^ + r → 2 × T → 2 ∙ k ^ = 0

∑ M z = r → × T → 1 + T → 2 ∙ k ^ = 0

Começamos resolvendo essa soma de vetores:

T → 1 + T → 2 = T 1 - 0,337   i ^ - 0,421   j ^ - 0,842   k ^ + T 2 ( 0,337   i ^ - 0,421   j ^ - 0,842   k ^ )

T → 1 + T → 2 = - 0,337   T 1 + 0,337   T 2   i ^ + - 0,421   T 1 - 0,421   T 2 j ^ + - 0,842   T 1 - 0,842   T 2 k ^

T → 1 + T → 2 = 0,337 - T 1 + T 2 + - 0,421 T 2 + T 2 j ^ + - 0,842 T 1 + T 2 k ^

E juntando tudo isso o momento em relação ao eixo z fica:

M z = 3   j ^ + 10   k ^ × 0,337 - T 1 + T 2 - 0,421 T 1 + T 2 j ^ - 0,842 T 1 + T 2 k ^ ∙ k ^ - 10,26

Reescrevendo esse produto vetorial como o determinante de uma matriz:

M z = i ^ j ^ k ^ 0 3 10 0,337 - T 1 + T 2 - 0,421 T 1 + T 2 - 0,842 T 1 + T 2 ˙ ∙ k ^ - 10,26

Como no final só vamos pegar a componente k ^ podemos simplesmente só calcular essa parte do determinante:

- 3 0,337 - T 1 + T 2 - 10,26 = 0

T 1 - T 2 = 10,26 1,011 = 10,14

E essa é nossa segunda equação!

Passo 4

Agora que temos duas equaçãoes e duas variáveis, podemos resolver o sistema para encontrar T 1 e T 2 :

T 1 - T 2 = 10,14 T 1 + T 2 = 55,81

Somando as duas equações:

T 1 = 10,14 + 55,81 2 = 33,0   k N

E substituindo isso na primeira:

T 2 = 22,8   k N

Resposta

As forças são T 1 = 33,0   k N e T 2 = 22,8   k N .

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