Enunciado

Determine a força em cada elemento da treliça carregada.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, isolando cada pino da treliça. Primeiro vamos às equações externas da treliça, para acharmos os valores de reação de A e D . Note que o apoio em D só causa reação para a direita:

∑ F x = 0 ⇒ D x + A x - 5 sen ⁡ 15 ° = 0 ⇒ D x + A x - 1,3 = 0

⇒ A x = 1,3 - D x

∑ F y = 0 ⇒ A y - 5 cos ⁡ 15 ° = 0 ⇒ A y = 4,8   k N   ( p a r a   c i m a )

Obtemos D x calculando o momento em torno de A :

∑ M A = 0 ⇒ D x 2 - 5 cos ⁡ 15 ° 4 - 5 sen ⁡ 15 ° 5 = 0

⇒ 2 D x - 19,3 - 6,5 = 0 ⇒ 2 D x = 25,8 ⇒ D x = 12,9   k N   ( p a r a   d i r e i t a )

Agora obtemos A x :

⇒ A x = 1,3 - D x = 1,3 - 12,9

⇒ A y = 11,6   k N   ( p a r a   e s q u e r d a ,   p o i s   d e u   u m   v a l o r   n e g a t i v o )

Uma coisa que devemos perceber para resolver a questão é que o elemento A D não está sob efeito de nenhuma força. Isso acontece porque não existe em D nada que possa anular uma força vertical feita por A D .

Passo 2

Analisando o triângulo A B D , calculamos o tamanho A B - por Pitágoras:

A B - = 4 2 + 2 2 = 16 + 4 = 2 5

Então temos o seno e o cosseno do ângulo θ entre A B e A D :

sen ⁡ θ = 4 2 5 = 0,89 ; cos ⁡ θ = 1 5 = 0,45

Agora, se colocarmos um ponto E abaixo de D e na mesma altura que C , temos o triângulo retângulo A E C , com A E - = 2 + 3 = 5 e E C - = 4 . Fazendo Pitágoras nele achamos o tamanho A C - :

A C - = 5 2 + 4 2 = 25 + 16 = 41

Podemos agora achar o seno e o cosseno do ângulo β entre A C e A E :

sen ⁡ β = 4 41 = 0,62 ; cos ⁡ β = 5 41 = 0,78

Passo 3

Agora vamos calcular as equações para cada nó. C indica que o elemento está comprimido e T indica que ele está tracionado. Consideraremos todas as forças desconhecidas de tração, e se obtivermos um valor negativo quer dizer que são de compressão

Nó D:

∑ F x = 0 ⇒ 12,9 + B D = 0 ⇒ B D = 12,9   k N   ( C )

Passo 4

Nó B:

∑ F x = 0 ⇒ B D - A B sen ⁡ θ = 0 ⇒ A B = 12,9 0,89 ⇒ A B = 14,5   k N   ( T )

∑ F y = 0 ⇒ A B cos ⁡ θ - B C = 0 ⇒ B C = 14,5 0,45 ⇒ B C = 6,5   k N   ( T )

Passo 5

Nó C:

∑ F x = 0 ⇒ - A C sen ⁡ β - 5 sen ⁡ 15 ° = 0 ⇒ A C = - 5 sen ⁡ 15 ° sen ⁡ β

Substituindo os valores dos senos, finalmente encontramos:

A C = 2,1   k N   ( C )

Resposta

A D = 0

B D = 12,9   k N   ( C )

A B = 14,5   k N   ( T )

B C = 6,5   k N   ( T )

A C = 2,1   k N   ( C )

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