Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça espacial e indique se os membros estão sob tração ou compressão. A treliça é sustentada por juntas esféricas em A , B e E . Considere F = - 200 i + 400 j   N . Dica: A reação de apoio em E atua ao longo do membro E C . Por quê?

Passo 1

Para determinar as forças, deve-se fazer o diagrama de corpo livre de cada junta no qual sejam indicadas todas as forças atuando no respectivo membro.

Para esse caso é possível fazer apenas a análise das juntas D e C pelo fato de que elas possuem três forças agindo sobre cada uma e pela possibilidade de encontrar três equações em cada eixo coordenado ( x , y e z ), compondo um sistema de equações possível de ser solucionado.

Passo 2

Então, escolhendo a junta D primeiro e fazendo o seu DCL, tem-se que:

Com isso, é possível montar as equações do equilíbrio de forças para cada eixo.

Então, para o eixo x será feito:

∑ F x = 0 ⇒ - F A D 1 3 + F B D 5 31,25 + F C D 1 7,25 - 200 = 0   ( 1 )

Em seguida, para o eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ - F A D 2 3 + F B D 1,5 31,25 - F C D 1,5 7,25 + 400 = 0   2

E, em relação ao eixo z :

∑ F z = 0 ⇒ - F A D 2 3 - F B D 2 31,25 + F C D 2 7,25 = 0   ( 3 )

Passo 3

Com as equações ( 1 ) , ( 2 ) e ( 3 ) é possível montar o primeiro sistema de equações cujas soluções serão os valores das forças que agem sobre a junta D .

Logo, resolvendo o sistema, obtém-se:

F A D = 343   N

F B D = 186   N

F C D = 397,5   N

As forças F A D e F B D agem sobre o seu respectivo membro e, portanto, tem caráter trativo. Já a força F C D possui atuação sobre a própria junta e, logo, possui caráter compressivo.

Passo 4

Agora, fazendo o mesmo processo para a junta C :

Então, fazendo o equilíbrio de forças:

∑ F x = 0 ⇒ F B C - F C D 1 7,25 = 0

F B C = 397,5 1 7,25 ∴ F B C = 148   N

∑ F y = 0 ⇒ F C D 1,5 7,25 - F A C = 0

F A C = 397,5 1,5 7,25 ∴ F A C = 221   N

∑ F z = 0 ⇒ F E C - F C D 2 7,25 = 0

F E C = 397,5 2 7,25 ∴ F E C = 295   N

As forças F A C e F B C agem nos membros da treliça e, por isso, possuem caráter trativo.

A força F E C está agindo sobre o pino, então, possui caráter compressivo.

Resposta

Junta C : F A C = 221   N   ( T ) , F B C = 148   N   T e F E C = 295   N   C

Junta D : F A D = 343   N   T , F B D = 186   N   T e F C D = 397,5   N   C

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