Enunciado

Determine a força P necessária para superar a resistência ao rolamento e suportar o cilindro de 50   k g se ele rolar para baixo no plano inclinado com velocidade constante. O coeficiente de resistência ao rolamento é a = 15   m m .

Passo 1

Galera, quando um cilindro rígido rola com velocidade constante por uma superfície rígida, a força normal exercida pela superfície sobre o cilindro atua perpendicularmente ao ponto de contato. Mas nós sabemos que nenhum material é perfeitamente rígido e, portanto, a reação da superfície sobre o cilindro consiste em uma distribuição de pressão normal. Conforme ele rola, o material da superfície na frente do cilindro retarda o movimento, pois ele está sendo deformado. Para manter esse movimento constante, é necessária uma força motriz horizontal P ser aplicada no cilindro.

Para manter o cilindro em equilíbrio, ou seja, manter ele rolando a uma velocidade constante é preciso que N seja concorrente com a força motriz P e o peso W . Assim, temos a seguinte expressão para esse tipo de situação:

P = W a r

Passo 2

Para começar a resolução dessa questão, vamos desenhar o diagrama de corpo livre para essa situação!

Passo 3

A primeira coisa que podemos fazer nessa questão é descobrir o valor de θ que está indicado no diagrama de corpo livre. Podemos observar o triângulo abaixo e escrever uma relação trigonométrica para encontrar o valor de θ .

s e n θ = 1 5 30 0

θ = s e n - 1 1 5 30 0

θ = 2 , 866 °

Passo 4

Como estamos atuando em um plano inclinado, os nossos eixos de referência serão rotacionados na mesma angulação do plano. O diagrama de corpo livre abaixo mostra como fica a nova situação.

Usando os novos eixos x ' e   y ' , vamos calcular o somatório das forças verticais e horizontais que, num sistema em equilíbrio, devem ser iguais a zero. Assim,

∑ F x ' = 0

P c o s 30 ° - 50 9,81 s e n 30 ° + R s e n 2,866 ° = 0

∑ F y ' = 0

+

P s e n 30 ° + R c o s 2,866 ° - 50 9,81 c o s 30 ° = 0

Temos duas equações com duas incógnitas agora. Se resolvermos esse sistema, nós encontraremos os valores para P e R !

P c o s 30 ° - 50 9,81 s e n 30 ° + R s e n 2,866 ° = 0 P s e n 30 ° + R c o s 2,866 ° - 50 9,81 c o s 30 ° = 0

Resolvendo, encontramos os seguintes valores:

P = 2 66   N

R = 2 91,98   N

Resposta

A força P necessária para superar a resistência ao rolamento é igual a:

P = 2 66   N

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