Determine a frequência natural do sistema de polias mostrado na Figura 2.45, desprezando o atrito e a massa das polias.

Passo 1

Bom, galera, pra começar, é importante ressaltar que, como as polias não têm atrito nem massa, a tensão no cabo é constante e igual ao peso W da massa m .

Considerando k 1 a constante equivalente da mola de baixo e k 2 a constante equivalente da mola de cima, vemos que

1 k 1   = 1 4 k   + 1 4 k

  k 1   =   2 k

k 2   =   k   +   k   =   2 k

Além disso podemos ver que a força que age para cima da polia 1 é 2 W , assim como a força que age para baixo da polia 2, e como elas estão em equilíbrio igualamos estas forças de tensão a força elástica da mola,

2 W   =   k 1 x 1

2 W   =   k 2 x 2

Passo 2

Como, nesse caso, temos o deslocamento x da massa sendo

x = 2 x 1 + 2 x 2

Podemos encontrar x substituindo na equação acima todas as informações que encontramos ao longo da questão, ou seja

x   =   2 2 W k 1 + 2 2 W k 2   =   4 W 1 2 k + 1 2 k   = 4 W k

Sabemos que W   =   k e q ⋅ x e q , então k e q   =   W / ( 4 W / k )   =   k / 4

Agora sim, vamos substituir a constante elástica equivalente que encontramos na nossa querida fórmula da frequência natural

w n   =   k e q m   =   k 4 m

Resposta

w n   =   k 4 m

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