Enunciado

Determine a intensidade da força resultante F R = F 1 + F 2 e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo u positivo.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a primeira questão de mais um livro juntos!

Nessa questão nós precisamos calcular a força resultante F R e o ângulo que forma com a direção do eixo u positivo.

A chave desta questão é trabalhar com a geometria do problema. Temos que desenhar no nosso esboço o triângulo de lados dados pelas forças F 1 e F 2 . A partir das informações obtidas conseguiremos calcular tudo pela lei dos senos.

Então, muito cuidado na hora do esboço!!! Vejamos só ele abaixo:

Na Figura acima, o vetor preto corresponde ao nosso vetor resultante F R . Para que a gente consiga determinar o nosso ângulo ϕ entre a direção positiva do eixo u e o vetor F R , foi necessário definirmos um ângulo θ .

Este é o ângulo entre os vetores F R e F 2 . Portanto, o nosso ângulo ϕ é:

ϕ + θ = 30 °

ϕ = 30 ° - θ

E assim finalizamos as etapas iniciais da nossa questão

Passo 2

Agora que já obtemos o nosso triângulo, basta aplicarmos a lei dos senos para calcular cada um dos vetores decompostos.

Pela lei dos senos nós temos:

F 1 sen ⁡ θ = F 2 sen ⁡ 7 5 ° - θ = F R sen ⁡ 105 °

4 sen ⁡ θ = 6 sen ⁡ 75 ° - θ = F R sen ⁡ 105 ° ⟹ 4 sen ⁡ θ = 6 sen ⁡ 75 ° - θ 4 sen ⁡ θ = F R sen ⁡ 105 °

Para resolvermos o sistema acima, vamos começar resolvendo a primeira equação, pois só temos uma incógnita. Portanto,

4 sen ⁡ θ = 6 sen ⁡ 75 ° - θ

sen ⁡ 7 5 ° - θ = 6 4 sen ⁡ θ

Aplicando a relação de soma de arcos, sen ⁡ a - b = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a , temos:

sen ⁡ 7 5 ° cos ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ 7 5 ° = 1,5 ⋅ sen ⁡ θ

sen ⁡ 7 5 ° cos ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ 7 5 ° + 1,5 sen ⁡ θ

sen ⁡ 7 5 ° cos ⁡ θ = cos ⁡ 7 5 ° + 1,5 sen ⁡ θ

tan ⁡ θ = sen ⁡ 7 5 ° cos ⁡ 7 5 ° + 1,5 = 0,5492

θ = arctan ⁡ 0,778 = 2 8,8 °

E assim determinamos que o ângulo ϕ entre a força resultante e o semi-eixo positivo u é:

ϕ = 1,2 °

Passo 3

Para finalizarmos a questão só nos resta definirmos a intensidade da força resultante. Para isto, basta utilizarmos a segunda equação do sistema que montamos no Passo 2. Portanto,

4 sen ⁡ θ = F R sen ⁡ 105 °

4 sen ⁡ 28,8 ° = F R sen ⁡ 105 °

F R = 4 ⋅ sen ⁡ 105 ° sen ⁡ 28,8 ° = 8,02   k N

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

F R = 8,02   k N

ϕ = 1,2 °

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