Enunciado

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o tubo que tem uma fenda ao longo de seu comprimento

Passo 1

É uma questão de fluxo de cisalhamento, então o procedimento de resolução consiste em integrar o fluxo de cisalhamento sobre a seção para encontrar a força interna e calcular o somatório de momentos!

As dificuldades nessa questão são:

  • não conhecermos uma forma fácil de calcular o momento de inércia
  • não conhecermos uma forma fácil de calcular momento estático.

Para contornar isso vamos utilizar coordenadas polares e integrar ao longo da seção.

OBS: Esta questão é muito semelhante a questão 7.82. Inclusive, se você definir o α = π , na questão anterior, você terá a mesma relação pro momento de inércia e pro momento estático.

Passo 2

Observe o elemento infinitesimal θ .

O momento de inércia de um corpo é dado por:

d I = y 2 d A

No nosso caso:

y = r ⋅ sen ⁡ θ

d A = t ⋅ d s = t ⋅ r ⋅ d θ

Dessa forma:

d I = r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ ⋅ t ⋅ r ⋅ d θ

Aplicamos a integração:

I = r 3 t ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ  

Pelas identidades trigonométricas:

I = r 3 t ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ  

Integrando:

I = r 3 t ⋅ 1 2 ⋅ θ - 1 4 sen ⁡ 2 θ 0 2 π  

Chegamos na expressão do momento de inércia:

I = π r 3 t  

Passo 3

Agora vamos calcular o momento estático. Como será preciso integrar o momento estático para determinar a força, vamos determinar uma fórmula pro momento estático.

O momento estático é definido como:

d Q = y d A

No nosso caso:

y = r ⋅ sen ⁡ θ

d A = t ⋅ d s = t ⋅ r ⋅ d θ

Então:

d Q = r ⋅ sen ⁡ θ ⋅ t ⋅ r ⋅ d θ

d Q = r 2 t ⋅ sen ⁡ θ ⋅ d θ

Vamos efetuar a integração. Os limites são definidos do ponto inicial π - α , até um ponto θ qualquer.

Q = r 2 t ∫ 0 θ sen ⁡ θ d θ  

Q = r 2 t - cos ⁡ θ 0 θ  

Chegamos numa fórmula pro momento estático.

Q = r 2 t ( 1 - cos ⁡ θ )  

Passo 4

Agora que temos o momento estático e de inércia, podemos integrar o fluxo de cisalhamento ao longo do caminho d s para determinar a força que atua sobre a seção.

F = ∫ q d s

Substituindo a fórmula do momento estático:

F = ∫ V Q I ⋅ d s

Substituindo o d s = r d θ

F = ∫ V Q I ⋅ r d θ

A força cortante é igual a força aplicada: V = P

F = ∫ P Q r I ⋅ d θ

Vamos definir os limites de ponta a ponta da seção, da mesma forma que fizemos com o momento de inércia:

F = P r I ∫ 0 2 π r 2 t ( 1 - cos ⁡ θ )   d θ  

F = P r 3 t I ∫ 0 2 π ( 1 - cos ⁡ θ )   d θ  

Efetuando a integração:

F = P r 3 t I θ + sen ⁡ θ 0 2 π

F = 2 π ⋅ P r 3 t I

Substituindo o momento de inércia:

F = 2 π ⋅ P r 3 t π r 3 t

A força é:

F = 2 P

Resposta

Passo 5

Agora efetuamos o somatório de momentos sobre o ponto C, pois apesar de não termos definido em que ponto a força F atua, sabemos que ela fica sobre a seção. E qualquer ponto da seção está a uma distância r do ponto C .

∑ M C = 0 ⇒ P ⋅ e - F ⋅ r = 0

P e = F r

e = 1 P ⋅ 2 P ⋅ r

e = 2 r

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