Enunciado

Determine a maior deformação específica normal no plano das deformações, sabendo que foram obtidas as seguintes deformações específicas usando a roseta abaixo:

ϵ 1 = - 5 0   μ                       ϵ 2 = + 36 0   μ                       ϵ 3 = + 31 5   μ

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o conjunto de equações 7.60, dado por:

ϵ 1 = ϵ x cos 2 ⁡ θ 1 + ϵ y s e n 2   θ 1 + γ x y s e n   θ 1 cos ⁡ θ 1

ϵ 2 = ϵ x cos 2 ⁡ θ 2 + ϵ y s e n 2   θ 2 + γ x y s e n   θ 2 cos ⁡ θ 2

ϵ 3 = ϵ x cos 2 ⁡ θ 3 + ϵ y s e n 2 θ y + γ x y s e n   θ 3 cos ⁡ θ 3

Vamos substituir os valores conhecidos para cada um dos 3 casos descritos, chegando num sistema de equações, depois disso temos que resolver o sistema. Com o sistema resolvido fica fácil, temos as deformações para calcular a deformação média e o raio do círculo de Mohr, com essas informações conseguimos calcular a deformação máxima, que é dada por:

ϵ m a x = ϵ m e d + R

Então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar escrevendo os ângulos θ que nós temos:

θ 1 = 45 °

θ 2 = - 45 °

θ 3 = 0 °

Então beleza! Vamos substituir os valores conhecidos na primeira equação, chegando em:

- 50 = ϵ x cos 2 ⁡ ( 45 ° ) + ϵ y s e n 2 45 ° + γ x y s e n 45 ° c o s ⁡ ( 45 ° )

- 50 = 0,5 ϵ x + 0 , 5 ϵ y + 0,5 γ x y

Essa será nossa equação 1. Agora vamos substituir os valores conhecidos na segunda equação, chegando em:

360 = ϵ x cos 2 ⁡ ( - 45 ° ) + ϵ y s e n 2 - 45 ° + γ x y s e n - 45 ° c o s ⁡ ( - 45 ° )

360 = 0 , 5 ϵ x + 0 , 5 ϵ y - 0,5 γ x y

Essa será nossa equação 2. E agora, substituindo os valores conhecidos na terceira equação, chegamos em:

315 = ϵ x cos 2 ⁡ ( 0 ° ) + ϵ y s e n 2 0 ° + γ x y s e n 0 ° c o s ⁡ ( 0 ° )

315 = ϵ x + 0 ϵ y + 0 γ x y → ϵ x = 315   μ

Opa! Já conseguimos o valor de ϵ x

Passo 3

Agora nós vamos somar as equações 1 e 2 que obtemos no passo 2, chegando em:

- 50 = 0,5 ϵ x + 0,5 ϵ y + 0,5 γ x y

+

360 = 0,5 ϵ x + 0,5 ϵ y - 0,5 γ x y

=

310 = ϵ x + ϵ y

Substituindo o valor de ϵ x obtido no passo 2, conseguimos obter o valor de ϵ y :

310 = 315 + ϵ y → ϵ y = - 5 μ

E, substituindo esse valor e o valor para ϵ x na equação 1, podemos encontrar o valor de γ x y , que será:

- 50 = 0,5 ϵ x + 0,5 ϵ y + 0,5 γ x y

- 50 = 0,5 315 + 0,5 - 5 + 0,5 γ x y → γ x y = - 410   μ

Beleza, com as deformações no plano, podemos calcular a deformação média, que será:

ϵ m e d = ϵ x + ϵ y 2 = 315 + - 5 2 → ϵ m e d = 155   μ

E agora, podemos calcular o raio do círculo de Mohr, que é dado por:

R = ϵ x - ϵ y 2 2 + γ x y 2 2 = 31 5 - - 5 2 2 + - 410 2 2

R = 260   μ

Então, a maior deformação específica normal no plano das deformações será:

ϵ m a x = ϵ m e d + R = 155 + 260 → ϵ m a x = 415   μ

Shooow! Fechamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

ϵ m a x = 415   μ

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O seguinte estado de deformação dado foi medido na superfície de uma placa fina. Sabendo que a superfície da placa está livre de tensão, determine ( a ) a direção e a intensidade das deformações princ
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