Enunciado

1. Prove que a soma das tensões normais σ x + σ y = σ x ' + σ y ' é constante. Veja figuras 9.2a e 9.2b.

Passo 1

O que temos que fazer nesse problema é, dadas as fórmulas das tensões σ x ' e σ y ' , encontrar algum modo de relacioná-las para atingir nosso objetivo, o de encontrar que σ x + σ y = σ x ' + σ y '

Passo 2

Por isso, vamos agora, aplicar as equações de transformação de tensão para determinar o valor de σ x ' e σ y ' :

Sabemos que σ x ' é dado em função das tensões normais σ x e σ y e da tensão cisalhante τ x y , pela seguinte fórmula:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

E sabemos também, que σ y ' tem a seguinte cara:

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Agora, o que temos que fazer é descobrir alguma malandragem algébrica que nos permita achar nossa relação do enunciado. Reparou que as duas fórmulas anteriores são praticamente idênticas, apenas com os sinais trocados. E o que aconteceria então, se somássemos os termos com os sinais inversos. Isso mesmo! Eles se anulariam. Logo o que precisamos realizar, é somar as duas fórmulas anteriores, afinal, não é isso mesmo que pede a questão?

σ x ' + σ y ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y sen ⁡ 2 θ + σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

σ x ' + σ y ' = 2 σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y sen ⁡ 2 θ - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ ⁡ -   τ x y sen ⁡ 2 θ

Os termos iguais, mas com sinais opostos, se cancelam. Ficamos, então, com a seguinte relação:

σ x ' + σ y ' = 2 σ x + σ y 2

σ x ' + σ y ' = σ x + σ y

Resposta

Fazendo a soma das transformações de tensões para o eixo x e y , prova-se que, de fato: σ x ' + σ y ' = σ x + σ y

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7. Resolva o Problema 9.2 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2.
8. Resolva o Problema 9.4 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2.
9. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. Moste o resultado em um desenho.
11. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 60 ° em sentido horário em relação ao elemento mostrado
10. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento se ele estiver orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.