Enunciado

Determine a maior intensidade w 0 da carga distribuída que a viga pode suportar se a viga suporta um momento fletor máximo M m á x = 20   k N ∙ m e uma força cortante máxima V m á x = 80   k N .

Passo 1

Para determinar os diagramas de esforço, em primeiro lugar as reações de apoio devem ser determinadas.

Em seguida, o eixo deve ser seccionado em posições a partir da extremidade esquerda que se estendem para partes entre forças, momentos ou carga distribuídas.

Para cada distância x (espaço entre a extremidade esquerda e o ponto escolhido para seccionar), o diagrama de corpo livre deve ser feito indicando o esforço cortante V e o momento fletor M em suas convenções positivas, tal que V é obtido através da soma das forças verticais e M é obtido através da soma dos momentos em relação a extremidade esquerda.

Enfim, com os valores dessas duas variáveis determinadas é possível desenhar os diagramas de esforços e tirar conclusões sobre os valores máximos de cada variável.

Passo 2

Sendo assim, fazendo o DCL de toda a viga obtém-se:

Deve-se lembrar que a força resultante gerada por um carregamento retangular é dada por

F R r e t = w x

E a posição do centroide é

x ¯ r e t = b 2

Enquanto que para uma carga triangular serão dados por:

F R t = 1 2 w x

E:

x ¯ t = b 3

Logo, para este caso, as resultantes serão dadas por:

F R 1 = w 0 4,5 = 4,5 w 0

E

F R 2 = 1 2 w 0 1,5 = 0,75 w 0

E os centroides se encontram em:

x ¯ 1 = 4,5 2 = 2,25 m

E

x ¯ 2 = 1,5 3 = 0,5 m

Como não existem forças atuando no eixo horizontal, então A x é nulo.

Com isso, para se determinar as reações nos pontos A e B deve ser feito o somatório de momentos em relação a algum desses pontos.

Então, fazendo em relação ao ponto B e considerando o sentido anti-horário como positivo:

∑ M B = 0 ⇒ F R 1 x ¯ 1 - F R 2 x ¯ 2 - A y 4,5 = 0

A y = 4,5 w 0 2,25 - 0,75 w 0 0,5 4,5 = 2,167 w 0

Fazendo o somatório de forças em y :

∑ F y = 0 ⇒ A y + B y - F R 1 - F R 2 = 0

B y = 4,5 w 0 + 0,75 w 0 - 2,167 w 0 = 3,083 w 0

Passo 3

Após determinar as reações, como a força é descontínua no centro da viga, deve-se analisar as regiões antes e depois deste ponto.

Logo, fazendo o DCL da seção 0 ≤ x < 4,5 m :

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ A y - F R 1 ' - V 1 = 0

V 1 x = 2,167 w 0 - w 0 x

V 1 x = - w 0 x + 2,167 w 0

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = 0 ⇒ M 1 + F R 1 ' x 2 - A y x = 0

M 1 x = 2,167 w 0 x - w 0 x x 2

M 1 x = - w 0 2 x 2 + 2,167 w 0 x

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 1 0 = - w 0 0 + 2,167 w 0 = 2,167 w 0

M 1 0 = - w 0 2 0 2 + 2,167 w 0 0 = 0

V 1 4,5 = - w 0 4,5 + 2,167 w 0 = - 2,333 w 0

M 1 4,5 = - w 0 2 4,5 2 + 2,167 w 0 4,5 = - 0,3735 w 0

Dentro deste intervalo, um ponto de interesse é no qual o esforço cortante se torna nulo e, também,o momento fletor é máximo. Logo:

V = 0 = - w 0 x + 2,167 w 0

E obtém-se:

x = 2,167 m

Portanto:

M 2,167 = - w 0 2 2,167 2 + 2,167 w 0 2,167

M 2,167 = 2,348 w 0

Passo 4

Em seguida, faz-se a análise da região após o centro e o DCL obtido será:

Tal intervalo analisado é 4,5 m < x ≤ 6 m .

Visto que neste intervalo o comprimento da base do carregamento triangular não é total, o valor da sua carga muda. Então, através de semelhança de triângulos tem-se:

w 0 1,5 = w 6 - x ∴ w = 6 - x 1,5 w 0

Para determinar o esforço cortante aplica-se o somatório de forças no eixo vertical:

∑ F y = 0 ⇒ V 2 - F ' R 2 = 0

V 2 x = 1 2 w 6 - x = 1 2 6 - x 1,5 w 0 6 - x

V 2 x = 6 - x 2 3 w 0

E para o momento fletor aplica-se o princípio dos momentos no ponto em que o eixo foi seccionado:

∑ M x = 0 ⇒ - M 2 - F ' R 2 6 - x 3 = 0

M 2 x = - 1 2 6 - x 1,5 w 0 6 - x 6 - x 3

M 2 x = - 6 - x 3 9 w 0

Para inserir estas informações nos diagramas de esforço, deve-se encontrar os valores nos extremos do intervalo. Logo:

V 2 4,5 = 6 - 4,5 2 3 w 0 = 0,75 w 0

M 2 4,5 = - 6 - 4,5 3 9 w 0 = - 0,375 w 0

V 2 6 = 6 - 6 2 3 w 0 = 0

M 2 6 = - 6 - 6 3 9 w 0 = 0

1

Passo 5

Portanto, inserindo os resultados do esforço cortante obtidos no diagrama tem-se:

E para os resultados do momento fletor:

Passo 6

Através dos diagramas de esforços, pode-se notar que o valor máximo, em módulo, para o esforço cortante ocorre no ponto x = 4,5 - m .

Como dito antes, para o momento fletor, o seu valor máximo ocorre no ponto em que o esforço cortante é nulo, ou seja, em x = 2,167 m .

Então, com isso, o esforço cortante máximo será dado por:

V m á x 4,5 - m = - 2,333 w 0

E o momento fletor máximo:

M m á x 2,167 m = 2,347 w 0

Comparando com os valores suportados pela viga, obtém-se:

V m á x = - 2,333 w 0 = 80   k N

w 0 = 80 - 2,333 = - 34,29   k N / m

E para o momento fletor:

M m á x = 2,347 w 0 = 20   k N ∙ m

w 0 = 20 2,347 = 8,52   k N / m

Para garantir que a viga seja capaz de suportar as cargas distribuídas é escolhido o valor com menor intensidade. Logo:

w 0 = 8,52   k N / m

Resposta

w 0 = 8,52   k N / m

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