Enunciado

Determine a massa e localize o centro de massa ( x - ,   y - ) da barra uniforme. A massa por unidade de comprimento da barra é 3 kg/m.

Passo 1

Fala ai galerinha, tudo beleza?

Vamos começar enxergando nosso elemento diferencial, ele é o comprimento do elemento mostrado na figura:

Trazendo isso para nossas coordenadas, usando o bom e velho Pitágoras chegamos em:

d L = d x 2 + d y 2

Vamos aproveitar e extrair o d x da raiz:

d L = 1 + d y d x 2 d x

Olha lá, ficou um d y d x ainda dentro, isso tem cara de derivada. Sabendo que y = 4 - x 2 , derivando temos então:

d y d x = - 2 x

Logo, nosso d L fica:

d L = 1 + - 2 x 2 d x = 1 + 4 x 2 d x ∴ d L = 2 1 2 2 + x 2 d x

Passo 2

Para obter o nosso comprimento somaremos todos os pedacinhos elementares da curva através da integral:

L = ∫ L d L

Como o d x percorre o eixo x nossos limites de integração irão de 0 a 2 :

L = ∫ 0 2 2 1 2 2 + x 2 d x

Resolvendo essa integral por substituição trigonométrica chegamos em:

L = 4,6468   m

Temo a massa por unidade de comprimento da barra, então se multiplicarmos pelo comprimento obteremos a sua massa.

m = m L ⋅ L

Assim:

m = 3 4,6468 = 13,9   k g

Passo 3

Passamos então para o centroide da nossa barra.

Para x - temos que:

x - = ∫ L x   d L L

x - = ∫ 0 2 x 2 1 2 2 + x 2 d x 4,6468

Resolvendo também por substituição trigonométrica:

x - = 5,7577 4,6468 = 1,24   m

Agora para y - :

y - = ∫ L y   d L L

y - = ∫ 0 2 y 2 1 2 2 + x 2 d x 4,6468

Mas sabemos que nosso y = 4 - x 2 , então:

y - = ∫ 0 2 ( 4 - x 2 ) 2 1 2 2 + x 2 d x 4,6468

y - = ∫ 0 2 8 1 2 2 + x 2 - 2 x 2 1 2 2 + x 2 d x 4,6468

Resolvendo essa integral temos:

y - = 10,1160 4,6468 = 2,18   m

Resposta

m = 13,9   k g

x - = 1,24   m

y - = 2,18   m

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