Enunciado

A placa de aço tem 0,3 m de espessura e tem uma densidade de 7850 kg/m³. Determine a localização de seu centro de massa. Além disso, determine as reações horizontais e verticais no pino e a reação no apoio do rolete; Dica: A força normal em B é perpendicular à tangente em B , que é encontrada a partir de t g   θ = d y / d x .

Passo 1

Vamos tomar nosso elemento diferencial como a área em cinza mostrada na figura:

Essa área é dada por:

d A = 2 y   d x

Duas vezes y já que temos a região do quadrante superior igual à do quadrante inferior.

Colocando nossa função em relação a x temos   y = 2 x , nosso d A fica:

d A = 2 ( 2 x ) d x

Para o centroide do nosso elemento diferencial temos x - = x , enquanto que por simetria temos y - = 0

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = ∫ A ⅆ A

A = ∫ 0 2 2 2 x   d x = 4 2 3 x 3 / 2   0 2 = 5,33   m 2

Logo, o peso da placa pode ser obtido por:

P = γ l A

Onde γ é o peso específico e l a espessura dada no enunciado:

P = 7850   0,3 9,81 = 123,2   k N

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide x - :

x - = ∫ A x - ⅆ A ∫ A ⅆ A

Temos:

∫ A x - ⅆ A = ∫ 0 2 x   2 2 x d x = 4 2 5 x 5 / 2   0 2 = 6,40   m 2

Logo, nosso x - fica:

x - = 6,40   5,33 = 1,20   m

Passo 4

Vamos agora encontrar as reações no pino e no rolete usando as equações de equilíbrio.

Sabemos que:

∑ M A = 0

Adotando o sentido anti-horário positivo, temos aqui o rolete B agindo no sentido anti-horário a uma distância de 2m do pino A   e o peso da placa no sentido horário com a distância encontrada do centroide.

Como o rolete B está em um plano inclinado precisamos decompor a sua força sobre a placa. O exercício nos diz que a força normal em B é perpendicular à tangente em B , que é encontrada a partir de t g   θ = d y / d x , vamos fazer isso:

y 2 = 2 x

2 y   d y = 2   d x

d y d x = 1 y

Queremos isso para o ponto ( 2 , - 2 ) , logo:

tan ⁡ θ = d y d x = 1 - 2

tan - 1 ⁡ - 0,5 = θ = 26,57 °

Sabendo isso podemos decompor a normal em B . Vamos então juntar nossos momentos em A com as devidas forças e suas distâncias do pino:

- 123,2 1,2 + N B cos ⁡ 26,57 ° 2 + N B sin ⁡ 26,57 ° 2 = 0

N B = 55,1   k N

Usamos agora o somatório de forças em x para encontrar a reação A x no pino, temos aqui parte da normal de B :

∑ F x = 0

- A x + 55,10 sin ⁡ 26,57 ° = 0

A x =   24,6   k N

E por último agindo em y temos o peso da placa e a outra parte da normal de B :

∑ F y = 0

A y - 123,2 + 55,10 cos ⁡ 26,57 °

A y =   73,9   k N

Resposta

x - = 1,20   m

y - = 0

N B = 55,1   k N

A x =   24,6   k N

A y =   73,9   k N

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