Enunciado

Determine as menores dimensões do eixo circular e da tampa circular se a carga que devem suportar é P   =   150   k N . A tensão de tração, a tensão de apoio e a tensão de cisalhamento admissíveis são σ t a d m = 175 M P a ,   σ a a d m = 275 M P a e τ a d m = 115 M P a .

Passo 1

Fala!

Como queremos dimensionar componentes que se relacionam com a área e nos foi dada as tensões médias admissível, devemos nos lembrar como se calcula essa tensão média que é dada por

σ = P A → A = P σ

Mas repara que a gente precisa dimensionar os diâmetros do eixo e da tampa. O eixo está sofrendo com tensão normal.

A tampa sofre tensão normal e de cisalhamento.

Tendo isso em mente, vamos analisar aí essas 3 situações!

Obs: a última tensão que ele deu de 115   M P a na verdade deveria estar escrita como τ , porque é de cisalhamento.

Passo 2

Vamos olhar para a tampa. Esse eixo com força para baixo faz com que uma tensão de tração seja gerada nas paredes da tampa, para que a base da tampa não caia, assim:

Quem aguenta a tensão normal é a parede da tampa, de diâmetro interno d 2 e externo d 1 . Para esse material, a tensão de tração dada é σ t a d m = 175 M P a . Temos

A = P σ → π 4 ⋅ d 1 2 - d 2 2 = P σ t - p e r m i t i d o

d 1 = 4 π ⋅ P σ m e d + d 2 2 → d 1 = 44,62 m m

Passo 3

Agora vamos olhar a tensão normal no eixo. Toda a sua área suporta a força. Para o caso de tensão de apoio σ a a d m = 275 M P a a geometria é de um círculo assim teremos

A = P σ → π 4 ⋅ d 3 2 = P σ b

d 3 2 = 4 π ⋅ P σ b

d 3 = 4 π ⋅ P σ b ≈ 26,35 m m

Passo 4

Agora vamos olhar a situação de cisalhamento na tampa. Sobre ela temos o eixo.

O nosso eixo é um tubo. Então quando a gente aplica essa carga   nele, ela é transmitida para a tampa assim:

De forma que a área da tampa que é paralela a esse carregamento (a área que sofre cisalhamento) na real é área lateral de um cilindro contido na tampa.

E quem é esse cilindro? O diâmetro dele é o diâmetro do eixo. E a altura dele é a espessura da tampa. Assim essa área onde ocorre cisalhamento é:

A a - a = π ⋅ d 3 ⋅ t

Por fim, para a tensão normal admissível τ a d m = 115 M P a vamos ter

A = P σ → π ⋅ d 3 ⋅ t = P τ p e r m i t i d o → t = 1 π ⋅ d 3 ⋅ P τ p e r m i t i d o ≈ 15,75 m m

Resposta

d 1 = 44,62 m m ,   d 2 = 26,35 m m   e   t = 15,75 m m

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