Responde Aí

Enunciado

Determine o momento M que deve ser aplicado ao eixo de forma a manter o hemisfério homogêneo em uma posição angular arbitrária, medida pelo ângulo θ . Os raios das engrenagens A , B e do hemisfério são r A , r B , r , respectivamente. Assuma que o atrito em todos os mancais é desprezível.

Passo 1

Perceba que o momento M age sobre um eixo que faz a engrenagem A girar, e essa engrenagem transmite o movimento para a engrenagem B , e essa sim está presa ao hemisfério.

O problema todo aqui é “segurar” o peso do hemisfério. Se olharmos a tabela no final do livro, vamos ver que o centro de massa de um hemisfério homogêneo está na seguinte posição:

r - = 3 8 r

Vamos representar isso no desenho:

E então o momento gerado pela força peso em relação à engrenagem B é:

M P = - m g cos ⁡ θ 3 8 r

Onde o sinal negativo aparece porque esse momento favorece a rotação no sentido horário.

Passo 2

Se queremos o equilíbrio dos momentos na engrenagem B , a força F   que a engrenagem A faz sobre ela tem que gerar um momento igual ao gerado pela força peso.

Se o raio da engrenagem B é r B essa equação de equilíbrio vai ficar assim:

∑ M B = 0

0 = M P + F r B

F r B = m g cos ⁡ θ 3 8 r

E isolando a força F :

F = 3 8 m g r r B cos ⁡ θ

Passo 3

Beleza, já descobrimos a força F que a engrenagem A tem que exercer sobre a B . Agora vamos exigir que o momento gerado por essa força no primeiro eixo seja igual ao momento M representado na imagem:

∑ M A = 0

Como o raio da engrenagem A é r A :

M = F r A

M = 3 8 m g r r B cos ⁡ θ r A

E então o momento é:

M = 3 m g r 8 r A r B cos ⁡ θ

Resposta

O momento deve ser M = 3 m g r 8 r A r B cos ⁡ θ .

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