Enunciado

Determine o momento fletor M no ponto de tangência A na barra semicircular de raio r e massa m , enquanto a barra gira em torno do eixo tangente com uma velocidade angular constante e elevada ω . Despreze do momento m ⋅ g ⋅ r produzido pelo peso da barra.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, usaremos as relações de momento fletor e precisaremos encontrar uma das componentes do tensor de inércia.

Passo 2

Temos que a força aplicada gera um torque na direção y . Assim, temos que nosso momento fletor será

∑ M y = - I x z ⋅ ω z 2

Para obtermos o momento de inércia precisamos calcular a seguinte integral:

I x z = ∫ x ⋅ z ⋅ d m = ∫ 0 π r + r ⋅ cos ⁡ θ ⋅ r ⋅ sin ⁡ θ ⋅ ρ ⋅ r ⋅ d θ

Onde ρ é a densidade por unidade de comprimento da barra. Resolvendo essa integral, chegamos que

I x z = 2 π ⋅ m ⋅ r 2

Substituindo no momento fletor, chegamos no resultado final de

∑ M y = - 2 π ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ ω 2

Pegando o módulo dessa somatória, ficamos com

M = 2 π ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ ω 2

Resposta

M = 2 π ⋅ m ⋅ r 2 ⋅ ω 2

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