Enunciado

Determine o momento de inércia de massa do conjunto em relação ao eixo z . A densidade do material é 7,85   M g / m 3 .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular o momento de I z do conjunto todo, que é composto por um tronco de cone e por um hemisfério (metade de uma esfera).

Para o hemisfério, o momento de inércia é:

I h e m i s f é r i o = 2 5 m r 2

Agora, para o tronco de cone, temos um problema. Nós não temos nenhuma relação para esta figura. A única relação que temos é para um cone inteiro, que é dado por:

I = 3 10 m r 2

E agora???

Bom, o que temos que fazer é calcular o momento de inércia para um cone completo (que engloba o tronco de cone) e depois subtrair o momento das partes que estão faltando (o topo do cone e a depressão)

Então, vamos começar identificando as dimensões do cone inteiro e do pedaço que iremos retirar dele (e que assim resulta no tronco de cone).

Passo 2

Vamos começar pelo cone maior. Ele tem raio de base igual a r 1 = 0 , 3   m . Já a altura a gente não conhece (pois temos apenas a altura do tronco de cone).

Mas não é nada impossível de conseguirmos esta dimensão. Por relação de triângulo, temos:

h 1 0 , 3 = h 1 - 0,45 0 , 1 ⟹ h 1 = 0,675   m

Já a parte do topo do cone que está faltando terá raio r 2 = 0 , 1   m e altura h 2 = h 1 - 0,45 = 0,225   m .

E assim a gente encontrou as dimensões de cada cone.

Passo 3

Como na fórmula do momento de inércia nós precisamos da massa de cada um dos componentes, vamos calculá-los agora.

Aqui é jogo fácil. Basta lembrar que a massa é o produto da densidade pelo volume! Portanto, começando pelo cone maior, temos:

m 1 = ρ V c o n e 1 = ρ π r 1 2 h 1 3

m 1 = 7,85 ⋅ 10 3 ⋅ π ⋅ 0 , 3 2 ⋅ 0,675 3

m 1 = 499,4   k g

Já para o topo do cone que está faltando, temos:

m 2 = ρ V c o n e 2 = ρ π r 2 2 h 2 3

m 2 = 7,85 ⋅ 10 3 ⋅ π ⋅ 0 , 1 2 ⋅ 0,225 3

m 2 = 18,5   k g

Por fim, a massa do hemisfério será:

m h e m i s f é r i o = ρ V h e m i s f é r i o = ρ 2 π r h e m i s f é r i o 3 3

m h e m i s f é r i o = 7,85 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0 , 3 3 3

m h e m i s f é r i o = 443,9   k g

E assim terminamos de determinar a massa dos componentes!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta calcularmos o momento de inércia do cone completo e subtrair dos pedaços que faltam. Sendo assim, temos:

I z = I h e m i s f é r i o + I c o n e 1 - I c o n e 2

I z = 2 5 m h e m i s f é r i o r h e m i s f é r i o 2 + 3 10 m 1 r 1 2 - 3 10 m 2 r 2 2

I z = 2 5 ⋅ 443,9 ⋅ 0,3 2 + 3 10 ⋅ 499,4 ⋅ 0 , 3 2 - 3 10 ⋅ 18,5 ⋅ 0 , 1 2

I z = 29,4   k g ⋅ m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

I z = 29,4   k g ⋅ m 2

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