Enunciado

Determine a profundidade h de um furo quadrado no cilindro circular sólido, para o qual a coordenada z do centro de massa terá o máximo valor possível..

Passo 1

Se combinarmos o cilindro completo de volume com o furo, sendo o volume do furo considerado negativo, conseguimos calcular a coordenada z do centro de massa com a seguinte fórmula:

z - = V 1 z - 1 - V 2 z - 2 V 1 - V 2

Sendo V 1 e z - 1 o volume e coordenada z do CM do cilindro completo sem o furo, e V 2 e z - 2 o volume e coordenada z do centro de massa do furo. Devemos então encontrar z - em função da profundidade z do furo, e então maximizar a função para o intervalo z ∈ ( 0,400   m m ) .

Passo 2

Como o cilindro tem raio 240 mm e altura de 400 mm, seu volume é dado por:

V 1 = π R 2 H = π ⋅ 240 2 ⋅ 400 = 23040000 π   m m 3

A coordenada z do centro de massa será a metade de sua altura:

z - 1 = 200   m m

Passo 3

O furo tem volume dado por:

V 2 = 120 2 z = 14400 z

Seu centro de massa também fica na metade de sua profundidade:

z - 2 = z 2

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula, com os volumes e coordenadas calculados:

z - = V 1 z - 1 - V 2 z - 2 V 1 - V 2 = 23040000 π × 200 - 14400 z × z 2 23040000 π - 14400 z = 4608000000 π - 7200 z 2 23040000 π - 14400 z

Vamos simplificar dividindo em cima e em baixo por 1440:

z - = 3200000 π - 5 z 2 16000 π - 10 z

Mais uma vez, agora por 5:

z - = 640000 π - z 2 3200 π - 2 z

Passo 5

Para encontrarmos o ponto de coordenada máxima, devemos derivar a função:

d z - d z = 640000 π - z 2 ' 3200 π - 2 z - 640000 π - z 2 3200 π - 2 z ' 3200 π - 2 z 2

= - 2 z 3200 π - 2 z - 640000 π - z 2 - 2 3200 π - 2 z 2 = - 6400 π z + 4 z 2 + 1280000 π - 2 z 2 3200 π - 2 z 2

= 2 z 2 - 6400 π z + 1280000 π 3200 - 2 z 2

Como o denominador é sempre positivo para z entre 0 e 400 mm, vamos ter um ponto crítico quando d z - d z = 0 . Então:

2 z 2 - 6400 π z + 1280000 π = 0 ⇒ z 2 - 10053 z + 2011000 = 0

Vamos resolver a equação para z ∈ ( 0 ,   400 ) :

Δ = b 2 - 4 a c = - 10053 2 - 4 × 2011000 π = 93020000

z = - b ± Δ 2 a = - - 10053 ± 93020000 2 = 10053 ± 9645 2

O resultado que temos no intervalo que queremos é:

z = 10053 - 9645 2 = 408 2 = 204

Que faz com que a coordenada do centro de massa seja:

z - = 640000 π - 204 2 3200 π - 2 × 204 = 1969000 9645 = 204   m m

Como esse é o único ponto crítico no intervalo e nos extremos temos z - 0 = z - 400 = 200   m m , pois temos um corpo simétrico, temos de fato o valor máximo absoluto para z = 204   m m .

Resposta

z = 204   m m

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