Enunciado

Três forças iguais são exercidas na placa equilátera conforme mostrado. Reduza o sistema de forças a um sistema força-binário equivalente no ponto O . Mostre que R → é perpendicular a M → O .

Passo 1

Para encontrar nosso sistema força-binário, primeiro precisamos calcular a força resultante R → :

R → = 3   F →

Já que as três forças são todas iguais, e a forma vetorial de F → é:

F → = - F   k ^

E então:

R → = - 3 F   k ^

Passo 2

Agora precisamos do momento dessas forças em relação ao ponto O .

As duas forças que agem sobre o eixo x tem momentos de mesmo módulo, mas favorecem a rotação em sentidos opostos, e por isso se anulam.

Falta calcular o momento da força F que age sobre o eixo y :

M = ( F ) ( d )

d = b 2 - b 2 4 = 3 2 b

E então:

M = 3 2 F b

Esse é o momento do nosso sistema força-binário.

Passo 3

E usando a regra da mão direita, podemos ver que esse momento aponta na direção negativa do eixo x :

M → = - M   i ^ = 3 2 F b i ^

(Obs: O produto vetorial que dá o momento é r → × F → . Ao usar a regra da mão direira para encontrar a direção desse produto, você vai ver que seu polegar aponta no sentido negativo do eixo x , por isso o - i ^ .)

Agora podemos usar essa forma vetorial para provar que os vetores M → e R → são perpendiculares:

M → ∙ R → = 0

Substituindo com as expressões que encontramos:

3 2 F b i ^ ∙ - 3 F   k ^ = 0

Já que i ^ e k ^ são perpendiculares (por definição)

Resposta

O sistema força-binário é composto por R → = - 3 F   k ^ e M → = - 3 2 b F   i ^ .

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