Enunciado

Determine a reação em A e desenhe o diagrama do momento fletor para a viga e o carregamento mostrados nas figuras.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação em função das reações nos apoios e depois integrar a equação acima duas vezes e utilizar as condições de contorno que temos para encontrar os valores das constantes, depois disso conseguimos obter a expressão para o momento fletor. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora nós vamos escrever a equação para o carregamento da viga, tomando o ponto A como início, sabendo que o carregamento equivale ao oposto da derivada da equação do cisalhamento, então teremos:

d V d x = - w 0 x L 2 → d V d x = - 2 w 0 x L

Agora vamos integrar essa equação, chegando em:

V = - w 0 x 2 L + C 1

Nesse caso, a constante C 1 representa as forças localizadas que temos no sistema. Como escolhemos o ponto A como referência, só teremos a força A y , já que B y que está na outra extremidade não entra na equação. Dessa forma, nossa constante C 1 será:

C 1 = A y

E então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - w 0 x 2 L + A y

Para obter o valor de A y , vamos utilizar a condição de contorno que temos no centro da viga, onde sabemos que não há força de cisalhamento, ou seja:

x = L 2 → V = 0

Substituindo esses valores na expressão para o cisalhamento, temos:

0 = - w 0 L 2 2 L + A y → A y = w 0 L 4

Então nossa equação para o cisalhamento será:

V = - w 0 x 2 L + w 0 L 4

Passo 3

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação do momento corresponde a equação do cisalhamento, podemos escrever:

d M d x = V

Substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento no passo 2, teremos:

d M d x = - w 0 x 2 L + w 0 L 4

Integrando essa equação, teremos:

M = - w 0 x 3 3 L + w 0 L 4 x + C 2

Nesse caso, a constante C 2 representa os momentos localizados que temos no sistema. Como escolhemos o ponto A como referência, só teremos o momento M A , já que M B que está na outra extremidade não entra na equação. Dessa forma, nossa constante C 2 será:

C 2 = M A

E então a equação para o momento se torna:

M = - w 0 x 3 3 L + w 0 L 4 x + M A

Agora nós vamos utilizar a equação que governa o regime elástico, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Substituindo a expressão encontrada para o momento, chegamos em:

E I . d 2 y d x 2 = - w 0 x 3 3 L + w 0 L 4 x + M A

Passo 4

Agora nós vamos integrar a expressão obtida no passo 3, chegando em:

E I . d y d x = - w 0 x 4 12 L + w 0 L x 2 8 + M A x + C 3

Essa será a equação para a inclinação da viga. Para descobrir o valor de C 3 vamos utilizar a nossa equação de contorno no engaste A, onde sabemos que não temos inclinação, ou seja:

x = 0 → d y d x = 0

Substituindo esses valores na equação de cima, teremos:

E I . 0 = - w 0 0 4 12 L + w 0 L ( 0 ) 2 8 + M A 0 + C 3 → C 3 = 0

E a nossa equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - w 0 x 4 12 L + w 0 L x 2 8 + M A x

Agora nós vamos integrar essa expressão para obter a expressão para a deflexão da viga, onde teremos:

E I . y = - w 0 x 5 60 L + w 0 L x 3 24 + M A x 2 2 + C 4

Passo 5

Agora, vamos utilizar a condição de contorno no engaste em A, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo esses valores na equação anterior, temos:

E I . 0 = - w 0 0 5 60 L + w 0 L 0 3 24 + M A 0 2 2 + C 4 → C 4 = 0

Então a equação para a deflexão se torna:

E I . y = - w 0 x 5 60 L + w 0 L x 3 24 + M A x 2 2

Agora, para descobrir a equação para o momento fletor escrita no passo 3, falta somente a expressão para M A . Podemos obter esse valor sabendo que no meio da viga, não teremos inclinação, ou seja:

x = L 2 → d y d x = 0

Então, substituindo esses valores na equação para a inclinação obtida no passo 4, teremos:

E I . ( 0 ) = - w 0 L 2 4 12 L + w 0 L L 2 2 8 + M A L 2

M A L 2 = w 0 L 3 192 - w 0 L 3 32 → M A = w 0 L 2 96 - w 0 L 2 16 = w 0 L 2 - 6 w 0 L 2 96

M A = - 5 w 0 L 2 96

Então, nossa equação para o momento será dada por:

M = - w 0 x 3 3 L + w 0 L 4 x - 5 w 0 L 2 96

Feshoow! Era ela que a gente estava procurando!

Resposta

M = - w 0 x 3 3 L + w 0 L 4 x - 5 w 0 L 2 96

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sabendo que P = 4k i p s , determine ( a ) a inclinação na extremidade A , ( b ) a deflexão no ponto médio da viga em C . Utilize E = 29 × 10 6p s i .
Para a viga e carregamento mostrados, determine ( a ) a inclinação no ponto A , ( b ) a deflexão no ponto D .
( a ) Determine a localização e a magnitude da máxima deflexão da viga A B . ( b ) Assumindo que a viga A B é o W 360 × 64 , L = 3,5m e 200G P a , calcule o valor do máximo momento aplicado M 0 admiss
A viga C E está apoiada sobre a viga A B , como mostra a figura. Sabendo que as vigas são feitas com um perfil de aço laminado W 250 × 49,1 , determine que o carregamento mostrado na figura, a deflexã
Para a viga em balanço e o carregamento mostrados, determine ( a ) a inclinação no ponto A , ( b ) a deflexão no ponto A . Utilize E = 200G P a .