Enunciado

( a ) Determine a localização e a magnitude da máxima deflexão da viga A B . ( b ) Assumindo que a viga A B é o W 360 × 64 , L = 3,5   m e 200   G P a , calcule o valor do máximo momento aplicado M 0 admissível se a deflexão máxima não excede 1   m m .

Passo 1

Fala, galerinha. Beleza? Bora fazer uma questão de mecânica.

Bora começar esboçando o DCL:

E então, vamos utilizar as equações de equilíbrio para determinarmos a reação em A , temos:

∑ M B = 0 M 0 - F A L = 0 F A = M 0 L

Em seguida, vamos utilizar a equação de momento no ponto k para determinarmos a equação para o momento fletor. Onde 0 ≤ k < L . Logo:

∑ M k = 0 M 0 - M 0 L x +   M = 0 M = M 0 L x - L

Com isso, podemos substituir esta equação que encontramos na equação diferencial da linha elástica. Ela é dada por:

E I d 2 y d x = M

Substituindo:

E I d 2 y d x 2 = M 0 L x - L

Agora, considerando a rigidez à flexão constante, vamos integrar esta equação duas vezes, para obtermos, respectivamente, a equação para a força cortante e a equação da linha elástica. Integrando, temos:

E I d y d x = M 0 L 1 2 x 2 - L x + C 1

Integrando mais uma vez:

E I y = M 0 L 1 6 x 3 - L x 2 + C 1 x + C 2

Passo 2

Em seguida, para encontrarmos a deflexão máxima, precisamos primeiro encontrar a equação da linha elástica. Para isso, vamos encontrar as condições de contorno na equação do ultimo passo. Fica assim:

x = 0 → y = 0 x = L → y = 0

Portanto, quando x está no ponto B , a deflexão é nula. E também, quando x está em A a deflexão também é nula. Com isso, vamos substituir estas condições de contorno. Temos:

E I y = M 0 L 1 6 0 3 - L ( 0 ) 2 + C 1 ( 0 ) + C 2 C 2 = 0

E para a segunda condição, temos:

E I y = M 0 L 1 6 L 3 - L ( L ) 2 + C 1 ( L ) + 0 C 1 = 1 3 M 0 L

Com as constantes definidas, basta as substituirmos nas equações que encontramos anteriormente. A equação da linha elástica vai ser:

y = M 0 L 1 6 x 3 - 1 2 L x 2 + 1 3 L 2 x

E a equação para a inclinação vamos encontrar substituindo a constante C 1 em d y / d x . Logo:

d y d x = M 0 E I L 1 2 x 2 - L x + 1 3 L 2

Esta é a nossa equação para a linha elástica.

Passo 3

Para encontrarmos a localização da máxima deflexão precisamos lembrar que a máxima deflexão se dá no ponto em que a inclinação é nula. Logo:

d y d x = 0

d y d x = M 0 E I L 1 2 x 2 - L x + 1 3 L 2 = 0

Isolando x , temos que:

x m á x = L - L 2 - 4 1 2 1 3 L 2

Subsituindo:

x m á x = 1 , 4805   m

Opa, encontramos a posição em que a máxima deflexão ocorre.

Passo 4

Agora, para determinarmos o momento M 0 basta substituirmos o ponto que encontramos no passo anterior na equação da linha elástica. Portanto:

y = M 0 E I L 1 6 x 3 - 1 2 L x 2 + 1 3 L 2 x y m á x = M 0 L 2 E I 1 6 0,423 3 - 1 2 0,423 2 + 1 3 3,5 0,423 y m á x = 0,06415 M 0 L 2 E I

Esta é magnitude da máxima deflexão. Sabendo que a máxima não excede 1   m m e que para este perfil, o momento de inércia é dado por:

I = 178 × 10 - 8   m 4

Podemos encontrar este valor no ábaco do nosso livro. Substituindo:

0,001 = 0,06415 M 0 ( 3,5 ) 2 200 × 10 9 178 × 10 - 8 M 0 = 45,3   k N ∙ m

Resposta

x m á x = 1 , 4805   m y m á x = 0,06415 M 0 L 2 E I

M 0 = 453   N ∙ m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento indicados, determine o valor e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.46.
Para a viga e o carregamento indicados, determine o valor e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.45.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto médio C.