Enunciado

Determine the y-coordinate of the centroid of the shaded area. Check your result for the special case a = 0.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Temos que calcular a coordenada y do centroide. Para isso, temos que calcular a área da figura. A área da figura é dada por

A = 1 2 B h 2 - 1 2 b a 2

De acordo com a figura abaixo,

As bases podem ser calculadas como:

B = 2 h tan ⁡ 60 ° = 2 3 h

b = 2 a tan ⁡ 60 ° = 2 3 h

A área da figura é:

A = 1 2 2 3 h 2 -   1 2 2 3 h 2

A = 1 3 ( h 2 - a 2 )

Passo 2

Vamos lembrar que a coordenada y do centroide é calculada por

y - = ∫ y c d A A

Assim, ainda precisamos determinar o elemento de área para calcular a integral.

O elemento de área é dado por:

d A = 2 x d y

em que 2x é a base e dy é a altura do elemento de área. Agora, a gente precisa saber a função da curva que relaciona y e x. Considerando que a metade do triângulo é um triângulo retângulo, a gente pode dizer que:

y = x tan ⁡ 60 ° = 3 x

Assim,

d A = 2 x d y = 2 y 3 d y

Aqui é preciso colocar tudo em função de y para calcular a integral.

Passo 3

Agora vamos calcular a integral ∫ y c d A . Como y na figura vai de a até h , a gente calcula como integral definida.

∫ y c d A =   ∫ a h y 2 3 y d y = 2 3 h 3 3 - 2 3 a 3 3 = 2 3 3 ( h 3 - a 3 )

Substituindo na equação do centroide:

y - = ∫ y c d A A = 2 3 3 h 3 - a 3 1 3 h 2 - a 2 = 2 h 3 - a 3 3 h 2 - a 2  

Esse é o centroide da área pintada. Para o caso especial a = 0 :

y - = 2 h 3 - 0 3 3 h 2 - 0 2 = 2 h 3 3 h 2 = 2 3 h

Vocês podem observar depois que para o caso especial, a coordenada y do centroide é igual ao do triângulo.

Resposta

y - = 2 h 3 - a 3 3 h 2 - a 2  

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