Enunciado

Uma bóia esférica usada para marcar o curso para uma corrida de veleiro é mostrada na figura. Existe uma corrente de água da esquerda para a direita que causa um arrasto horizontal na bóia; o efeito da corrente no cabo pode ser desprezado. O comprimento do cabo entre os pontos A e B é de 87 m, e a massa efetiva do cabo é de 2 kg / m quando a flutuabilidade do cabo é considerada. Determine as tensões em A e B.

Passo 1

Primeiro, desenharemos o diagrama de corpo livre do cabo. Imagine que o cabo não termina em A, em vez disso, continua até chegar ao ponto mais baixo, esse ponto será marcado como o início do sistema de coordenadas.

Olhando para o esboço, podemos ver que as coordenadas dos pontos A e B são:

A l ; h

B 32 + l ; 80 + h

E o peso por unidade de comprimento é igual à massa por unidade de comprimento vezes a gravidade:

μ = m p . l . ∙ g

μ = 2 ∙ 9.81 = 19.62   N/m

Passo 2

A seguir, uma vez que o cabo suporta apenas seu peso, o cabo tem uma forma conhecida como catenária, então usaremos a expressão (5/19)

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substitua μ por seu valor e coloque as coordenadas dos pontos A e B na equação.

Ponto A:

h = T 0 19.62 cosh ⁡ 19.62 T 0 - 1                     ( A . 1 )

Ponto B:

h + 80 = T 0 19.62 cosh ⁡ 19.62 ∙ 32 + l T 0 - 1                     ( B . 1 )

Passo 3

Observe que, subtraindo a equação (A.1) e (B.1), eliminaremos o h desconhecido

B . 1 - A . 1                 ⇒                 80 = T 0 19.62 cosh ⁡ 19.62 ∙ 32 + l T 0 - 1 - T 0 19.62 cosh ⁡ 19.62 T 0 - 1

⇒                 80 = T 0 19.62 cosh ⁡ 19.62 ∙ 32 + l T 0 - cosh ⁡ 19.62 T 0                     ( 1 )

Uma vez que existem duas incógnitas figurando na equação (1), precisaremos escrever outra equação onde essas duas (l e T0) são as únicas incógnitas.

Sabemos que o comprimento do cabo do ponto A ao B é:

s A B = 87   m

Podemos escrever este comprimento como a diferença entre o comprimento do ponto O ao B e do ponto O ao A

s A B = s B - s A = 87   m

Passo 4

Usando a expressão (5/20), podemos escrever sA e sB como:

s A = T 0 μ sinh ⁡ μ x A T 0 = T 0 19.62 sinh ⁡ 19.62 l T 0                     ( A . 2 )

s B = T 0 μ sinh ⁡ μ x B T 0 = T 0 19.62 sinh ⁡ 19.62 ∙ 32 + l T 0                     ( B . 2 )

Substitua sA e sB pelas expressões (A.2) e (B.2) na equação (2)

87 = T 0 19.62 sinh ⁡ 19.62 ∙ 32 + l T 0 - T 0 19.62 sinh ⁡ 19.62 l T 0

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), traçaremos as equações (1) e (2.1) e leremos os valores de T0 e l que satisfazem ambas as equações.

Observe que você precisará ampliar o diagrama para poder ler os resultados.

T 0 μ = 11.482

Passo 5

Finalmente, usando a expressão (5/21) podemos determinar a tensão nos pontos A e B

T A = T 0 cosh ⁡ μ ∙ x A T 0

T B = T 0 cosh ⁡ μ ∙ x B T 0

Substitua T0 e μ por seus valores e coloque as coordenadas necessárias nas expressões acima.

T A = 49475 cosh ⁡ 19.62 ∙ l 494.75

T B = 494.75 cosh ⁡ 19.62 ∙ 32 + l 494.75

Finalmente, substitua l por seu valor.

T A = 49475 cosh ⁡ 19.62 ∙ 23.995 494.75

T B = 494.75 cosh ⁡ 19.62 ∙ 32 + 23.995 494.75

Calculando as expressões acima, obtemos que a tensão no cabo nos pontos A e B é:

T A = 736.16   N                               T B = 2305.79   N

Resposta

T A = 736.16   N

T B = 2305.79   N

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