Enunciado

70. Determine a tração nos cabos B D e C D e as componentes x ,   y ,   z da reação na junta esférica em A .

Passo 1

Primeiro temos que avaliar que tipos de conexões temos nessa situação, nesse caso são cabos e uma junta esférica, segundo a tabela 5.2 do capítulo 5 , seção 5.5 , esse tipo de conexão por cabo só exerce uma força ou tração na direção do cabo e a junta esférica exerce força nas três direções dos eixos coordenados.

Para determinar a tração nos cabos nessa situação, será melhor expressá-las na forma vetorial, nessa forma teremos as componentes da tração de cada cabo, podendo assim usar as equações de equilíbrio para cada direção com a componente adequada das trações.

Para expressar essa força de tração, precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que as forças de tração.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de B D é:

u → = - 1 i + 1,5 j + 3 k 12,25

u → = { - 0,2857 i + 0,4286 j + 0,8571 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração da corda B D :

T B D → = T B D u →

= - 0,2857 T B D i + 0,4286 T B D j + 0,871 T B D k

Agora para achar o da corda C D , basta notar que ela é simétrica a outra corda em relação ao eixo y , logo o vetor unitário é mesmo a não ser pelo sinal da componente j que troca, então:

T C D → = - 0,2857 T B D i - 0,4286 T B D j + 0,871 T B D k

Abaixo tem um diagrama de corpo livre que ilustra situação.

Passo 2

Agora que temos nossos vetores expressos dessa forma, sabemos suas componentes em x ,   y e z , agora só aplicar as equações de equilíbrio referente as forças.

∑ F x = 0

A x - 0,2857 T B D - 0,2857 T C D = 0

∑ F y = 0

A y + 0,4286 T B D - 0,4286 T C D = 0

∑ F z = 0

A z + 0,8571 T B D + 0,8571 T C D - 300 = 0

Passo 3

Agora vamos aplicar as equações de equilíbrio referente ao momento.

∑ M A x = 0

- 0,8571 T B D 1,5 + 0,8571 T C D 1,5 = 0

∑ M A y = 0

300 1 - 0,8571 T B D 1,5 - 0,8571 T C D 1,5 = 0

Passo 4

Analisando a primeira equação do passo 3 , temos o seguinte:

- 0,8571 T B D 1,5 + 0,8571 T C D 1,5 = 0

⇒ + 0,8571 T B D 1,5 = 0,8571 T C D 1,5

⇒ T B D = T C D

Aplicando isso na segunda equação do passo 3 .

300 1 - 0,8571 T B D 1,5 - 0,8571 T C D 1,5 = 0

⇒ 300 1 - 0,8571 T B D 1,5 - 0,8571 T B D 1,5 = 0

⇒ 300 - 2,5713 T B D = 0

⇒ 2,5713 T B D = 300

⇒ T B D = 116,67   N

Com isso temos que:

T C D = 116,67   N

Passo 5

Com o que descobrimos no passo 4 , vamos utilizar isso nas equações do passo 3 para descobrir o que falta.

Para A x :

A x - 0,2857 T B D - 0,2857 T C D = 0

⇒ A x - 0,2857 T C D - 0,2857 T C D = 0

⇒ A x = 2 0,2857 116,67

⇒ A x = 66,67   N

Para A y :

A y + 0,4286 T B D - 0,4286 T C D = 0

⇒ A y + 0,4286 T C D - 0,4286 T C D = 0

⇒ A y = 0

Para A z :

A z + 0,8571 T B D + 0,857 1 T C D - 300 = 0

⇒ A z + 0,8571 T C D + 0,857 1 T C D = 300

⇒ A z = - 2 0,8571 116,67 + 300

⇒ A z = - 199,99 + 300

⇒ A z = 100,01   N

Resposta

T B D = 116,67   N

T C D = 116,67   N

A x = 66,67   N

A y = 0

A z = 100,01   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as componentes de reação atuando na junta esférica em A e a tração em cada cabo necessárias para o equilíbrio da haste.
O guindaste usado em navios é apoiado por uma junta esférica em D e dois cabos, B A e B C . Oscabos estão presos a uma luva lisa em B , permitindo a rotação do guindaste em relação ao eixo z . Se o gu
O membro AB é sustentado por um cabo BC e em A por um eixo retangular liso encaixado frouxamente no furo retangular da luva fixada ao membro, como na figura. Determine as componentes da reação em A e
5.75. Determine as componentes de reação na junta esférica A e a tração nos cabos de suporte DB e DC.
O letreiro tem massa de 100k g com centro de massa em G . Determine as componentes x , y , z da reação na junta esférica A e a tração nos fios B C e B D .