Enunciado

Determine o valor de a para que a razão overset(-)(x) // overset(-)(y) = 9 .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide da figura. Para isso, vamos integrar a função y no intervalo que ele nos deu. Logo:

bar x = (int_a^b x d A)/(int d A) ; bar y = (int_a^b y d A)/(int d A)

Primeiro, devemos determinar os termos x e y Para isso, devemos imaginar um retângulo de base infinitesival d x e altura y dentro da nossa função. Sendo assim, ficamos com:

x = x

y = (y)/(2)

Por último, vamos encontrar o termo d A , que é a área do nosso retângulo, ele é dado por:

d A = y . d x

Passo 2

Agora basta integrar no intervalo da função:

bar x = (int_a^b x d A)/(int d A)

bar x = (int_(25)^a x y d x)/(int_(25)^a y d x)

bar x = (int_(25)^a x (1)/(x) d x)/(int_(25)^a (1)/(x) d x)

bar x = (int_(25)^a 1 d x)/(int_(25)^a (1)/(x) d x)

Integrando, ficamos com:

bar x = (x (​|_(25)^a)/(ln x (​|_(25)^a)

bar x = (a - 25)/(ln a - ln 25)

Para bar y , basta repertimos o processo:

bar y = (int_a^b x d A)/(int d A)

bar y = (int_(25)^a (y)/(2) d x)/(ln a - ln 25)

bar y = ((1)/(2) int_(25)^a (1)/(x) d x)/(ln a - ln 25)

bar y = ((1)/(2) ( ln a - ln 25 ))/(ln a - ln 25)

bar y = (1)/(2)

Substituindo na razão dada:

9 = ((a - 25)/(ln a - ln 25))/((1)/(2))

(9)/(2) = (a - 25)/(ln a - ln 25)

Resolvendo:

a = 98,79 m m

Resposta

a = 98,79 m m

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