Enunciado

Determine o volume V e a área de superfície total A do anel completo que é mostrado na seção. Todos os quatro raios de canto da seção transversal são de 10 mm.

Passo 1

Usando o teorema de Pappus, podemos escrever a expressão para a área como:

A = θ ∑ x - L (1)

Onde x é o centróide das linhas, L é o comprimento das linhas e θ ângulo de rotação

Consideraremos toda a circunferência como uma linha de comprimento:

L = 2 ⋅ 20 + 2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 2 ⋅ 10 π 4 L = 122.83   m m

E uma vez que a linha é simétrica a: -eixo paralelo ao ponto C, seu centróide está no ponto C, ou seja, a distância entre o centróide e o eixo-z é:

x = 20 + 10 + 20 2 x = 40 m m

O ângulo de rotação é

θ = 2 π

Coloque os valores na expressão (1)

A = 2 π ( 40 ⋅ 122.83 ) A = 30871 m m 2

Passo 2

Usando o teorema de Pappus, podemos escrever a expressão para a área como:

V = θ ∑ x - A (2)

Onde x ‾ é o centroide da área, A é a área e o ângulo de rotação θ

Observe que a área total de uma seção transversal é:

A = 40 ⋅ 10 + 2 ⋅ 20 ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 2 π 4 A = 1114.16   m m 2

Com o centróide no ponto Cs

x - = 40 m m

E o ângulo de rotação

θ = 2 π

Coloque todos os valores na expressão (2)

V = 2 π ( 1114.16 ⋅ 40 )

O volume total

V = 280019 m m 3

Resposta

A = 30871 m m 2 V = 280019 m m 3

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