Enunciado

45- Determine o volume do paralelepípedo da Fig.3.25 quando a )   P = 4 i - 3 j + 2 k ,   Q = - 2 i - 5 j + k e S = 7 i + j - k b )   P = 5 i - j + 6 k ,   Q = 2 i + 3 j + k e S = - 3 i - 2 j + 4 k

Passo 1

Existe um paralelepípedo cujo volume é calculado pelo produto misto de três vetores e que será dado por:

V = S . ( P × Q )

E a ordem dos termos não afeta o produto

Passo 2

Fazendo o produto vetorial da letra a temos:

P × Q = i j k 4 - 3 2 - 2 - 5 1

P × Q = - 3 × 1 + 2 × 5 i + - 2 × 2 - 4 × 1 j + 4 × - 5 - - 3 × - 2 k

P × Q = 7 i - 8 j - 26 k

Logo o produto vetorial desse vetor com S será:

S . P × Q = 7 × 7 + - 8 × 1 j + - 26 × - 1 = 67   u V

Onde a representa unidades de volume

Passo 3

Agora para a letra b temos:

P × Q = i j k 5 - 1 6 2 3 1

Fazendo a determinante temos:

P × Q = - 1 × 1 - 6 × 3 i + 6 × 2 - 5 × 1 j + 5 × 3 - - 1 × 2 k

Isso nos dá:

P × Q = - 19 i + 7 j + 17 k

Agora fazendo o produto escalar com S temos:

S . P × Q = - 3 × - 19 + - 2 × 7 + 4 × 17 = 111   u V

Resposta

a )   67   u V

b )   111   u V

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