Enunciado

Devido à restrição, o cilindro C de 0,5 kg desloca-se ao longo da trajetória descrita por r = ( 0,6 cos ⁡ θ ) m. Se o braço O A gira no sentido anti-horário com velocidade angular de θ ˙ = 2   r a d / s e a aceleração angular de θ ¨ = 0,8   r a d / s 2 no instante que θ = 30 ° , determine a força exercida pelo braço sobre o cilindro neste instante. O cilindro está em contato com apenas uma aresta da fenda lisa, e o movimento ocorre no plano horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa de C : m = 0,5   k g

Velocidade angular: θ ˙ = 2   r a d / s

Aceleração angular: θ ¨ = 0,8   r a d / s 2

Trajetória: r = ( 0,6 cos ⁡ θ )

Trajetória no plano horizontal.

A questão pede para determinar a força exercida pelo braço sobre o cilindro no instante em que θ = 30 ° .

Desenhamos o diagrama de corpo livre cilindro C .

Onde N é a força normal exercida pelo contanto do cilindro com a parede e F O A é a força exercida pela barra.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um semi circulo de raio 0,3m, a direção de N será a mesma do raio deste semi círculo.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais

Em r :

r = 0,6 cos ⁡ θ   m

r ˙ = d r d t = - 0,6 θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,6 θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 0,6 θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Para   θ = 30 ° :

θ ˙ = 2   r a d / s

θ ¨ = 0,8   r a d / s 2

r = 0,52   m

r ˙ = d r d t = - 0,6   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 2,32   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 2,32 - 0,52 ( 2 2 ) = - 4,4   m / s 2

a θ = 0,52 0,8 + 2 ( - 0,6 ) ( 2 ) = - 1,984   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada ao cilindro.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde θ e α são os ângulos de base. Portanto,

θ = α = 30 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ α = m a r

N cos ⁡ 30 ° = 0,5 ( - 4,4 )

N = - 2,54   N

O sinal negativo de N significa que o sentido em que a força está sendo aplicada é oposto ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F O A + N sen ⁡ α = m a θ

F O A = 0,5 - 1,984 - - 2,54 sen ⁡ 30 °

F O A = 0,278   N

Resposta

F O A = 0,278   N

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