Enunciado

O disco A gira em torno do eixo vertical z com uma velocidade constante ω = θ ˙ = π / 3   r a d / s . Ao mesmo tempo, o braço articulado O B é elevado na taxa constante ϕ ˙ = 2 π / 3   r a d / s . No instante de tempo t = 0 , ambos θ = 0 e ϕ = 0 . O ângulo θ é medido a partir do eixo de referência fixo x . A pequena esfera P desliza ao longo da haste de acordo com R = 50 + 200 t 2 , onde R é expresso em milímetros e t é em segundos. Determine o módulo da aceleração total a de P quando t = 1 2 s .

Passo 1

Derivando a expressão de R em relação ao tempo, obtemos R ˙ e R ¨ em função de t :

R = 50 + 200 t 2

R ˙ = 400 t

R ¨ = 400

Além disso, o ângulo ϕ gira a uma taxa constante ϕ ˙ = 2 π / 3   r a d / s , então:

ϕ = ϕ 0 +   ϕ ˙ t = 0 + 2 π 3 t = 2 π t 3

Desse modo, quando t = 0,5   s , teremos os seguintes dados:

R = 50 + 200 ( 0,5 ) 2 = 100   m m

R ˙ = 400 0,5 = 200   m m / s

R ¨ = 400   m m / s 2

θ ˙ = π 3 r a d / s

θ ¨ = 0

ϕ = 2 π 0,5 3 = π 3 r a d = 60 °

ϕ ˙ = 2 π 3 r a d / s

ϕ ¨ = 0

Passo 2

Agora vamos lembrar que as componentes da aceleração em coordenadas esféricas são:

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ

a θ = cos ⁡ ϕ R d d t R 2 θ ˙ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

Começamos calculando a R :

a R = R ¨ - R ϕ ˙ 2 - R θ ˙ 2 cos 2 ⁡ ϕ = 400 - 100 2 π 3 2 - 1 00 π 3 2 cos 2 ⁡ 60 °

a R = - 66,06   m m / s 2

No cálculo de a θ , usamos a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a θ = cos ⁡ ϕ R 2 R R ˙ θ ˙ + R 2 θ ¨ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 R ˙ θ ˙ cos ⁡ ϕ + R θ ¨ cos ⁡ ϕ - 2 R θ ˙ ϕ ˙   s e n   ϕ

a θ = 2 200 π 3 cos ⁡ 60 ° + 1 00 0 cos ⁡ 60 ° - 2 1 00 π 3 2 π 3 s e n   60 °

a θ = - 170,4   m m / s 2

Passo 3

Para calcular a ϕ , utilizamos novamente a regra do produto para a derivada presente na expressão:

a ϕ = 1 R d d t R 2 ϕ ˙ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ  

a ϕ = 1 R 2 R R ˙ ϕ ˙ + R 2 ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 R ˙ ϕ ˙ + R ϕ ¨ + R θ ˙ 2   s e n   ϕ cos ⁡ ϕ

a ϕ = 2 20 0 2 π 3 + 1 00 0 + 1 00 π 3 2 s e n   60 ° cos ⁡ 60 °

a ϕ = 885,2   m m / s 2

Logo, o módulo da aceleração será:

a = a R 2 + a θ 2 + a ϕ 2 = - 66,06 2 + - 170,4 2 + 885,2 2

a = 904   m m / s 2

a = 0,904   m / s 2

Resposta

a = 0,904   m / s 2

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