Enunciado

A partícula P se desloca ao longo da curva no espaço e tem uma velocidade v = 4 i - 2 j - k   m / s para o instante de tempo mostrado. No mesmo instante a partícula tem uma aceleração a cujo módulo é de 8   m / s 2 . Calcule o raio de curvatura ρ da trajetória para esta posição e a taxa v ˙ na qual o módulo da velocidade está aumentando.

Passo 1

Pessoal, pra gente descobrir o raio de curvatura ρ , podemos usar a fórmula da aceleração normal:

a n = v 2 ρ

ρ = v 2 a n

Então, temos que descobrir o valor de v e de a n no instante mostrado na figura. Repare que já temos o vetor v :

v = 4 i - 2 j - k   m / s

Logo, o quadrado do seu módulo é:

v 2 = 4 2 + - 2 2 + - 1 2 = 21   m 2 / s 2

Passo 2

Agora, note através da figura que a aceleração faz um ângulo de 20 ° com a velocidade. Isso significa que a componente normal da aceleração (componente perpendicular à velocidade) pode ser calculada assim:

a n = a   s e n   20 ° = 8   s e n   20 °   m / s 2

Então, jogamos isso na fórmula anterior:

ρ = v 2 a n = 21   m 2 / s 2 8   s e n   20 °   m / s 2

ρ = 7,67   m

Passo 3

Para descobrir qual é a taxa v ˙ na qual o módulo da velocidade está aumentando, note que essa taxa é equivalente à aceleração tangencial, ou seja, é a componente da aceleração na direção da velocidade. Olhando pra figura, vemos que isso é:

v ˙ = a t = a cos ⁡ 20 ° = 8 cos ⁡ 20 °   m / s 2

v ˙ = 7,52   m / s 2

Beleza?

Resposta

ρ = 7,67   m

v ˙ = 7,52   m / s 2

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