Enunciado

O disco homogêneo de massa m está em repouso sobre as superfícies de apoio em ângulo reto mostradas. A força trativa P na corda é aumentada bem gradualmente desde zero. Se o atrito, tanto em A quanto em B , é caracterizado por μ s = 0,25 , o que acontece primeiro – o disco homogêneo vai escorregar no lugar em que está ou ele começará a rolar, subido o plano inclinado? Determine o valor de P para o qual esse primeiro movimento ocorre.

Passo 1

Vamos resolver essa questão por suposição. Vamos dizer que primeiro o disco irá começar a rolar em torno de A antes de escorregar no lugar. Nesse caso, ele irá se descolar do ponto B , e não haverão forças nesse ponto. Vamos então representar em diagrama de corpo livre o disco. Temos a normal e o atrito em A , o peso e a força P .

Passo 2

Primeiro, fazendo momento em torno do centro do círculo ser zero, encontramos a relação entre P e a força de atrito F . Vamos chamar o raio do disco de r :

∑ M C = 0 ⇒ P r = F r

⇒ P = F

Agora podemos fazer a soma das forças na direção y que é paralela a N . O ângulo entre o peso e essa direção é de 30°.

∑ F y = 0 ⇒ N - m g cos ⁡ 30 ° = 0

⇒ N = m g cos ⁡ 30 ° = 0,866 m g

Finalmente achamos o valor de F fazendo a soma das forças na direção x paralela a P :

∑ F x = 0 ⇒ - P - F + m g sen ⁡ 30 ° = 0

Substituímos P por F :

- 2 F + m g sen ⁡ 30 ° = 0 ⇒ F = m g sen ⁡ 30 ° 2

⇒ F = 0,25 m g

Agora vamos calcular a razão entre a normal e o atrito. Ela deve ser menor ou igual a 0,25, pois esse é o coeficiente de atrito estático:

F N = 0,25 m g 0,866 m g = 0,289

O valor foi maior que 0,25, então nossa suposição estava errada :(

Na verdade o disco começa a escorregar no lugar antes de rolar em torno de A .

Passo 3

Então vamos calcular P quando o disco começa a girar no lugar. A força de atrito será máxima em A e em B , então será o coeficiente de atrito estático ( μ = 0,25) vezes a normal em ambos os pontos. Vamos desenhar então como ficam as forças:

Vamos fazer as equações de força para as mesmas direções que fizemos antes. Primeiro a direção x paralela a P :

∑ F x = 0 ⇒ - P - 0,25 N A - N B + m g sen ⁡ 30 ° = 0

Colocamos então N B em função das outras incógnitas:

N B = 0,5 m g - P - 0,25 N A

Agora na direção y :

∑ F y = 0 ⇒ N A - 0,25 N B - m g cos ⁡ 30 ° = 0

Substituímos N B :

N A - 0,25 0,5 m g - P - 0,25 N A - m g cos ⁡ 30 ° = 0

⇒ N A - 0,125 m g + 0,25 P + 0,0625 N A - 0,866 m g = 0

⇒ 1,0625 N A = 0,9327 m g - 0,25 P

⇒ N A = 0,9327 m g - 0,2353 P

Pegamos esse valor de N A e jogamos na expressão de N B , para ficar apenas em função de P :

N B = 0,5 m g - P - 0,25 N A

⇒ N B = 0,5 m g - P - 0,25 0,9327 m g - 0,2353 P

= 0,5 m g - P - 0,2332 m g + 0,0588 P

⇒ N B = 0,2668 m g - 0,9412 P

Agora vamos fazer o momento em torno do centro ser zero:

∑ M C = 0 ⇒ P r - 0,25 N A r - 0,25 N B r = 0

⇒ P - 0,25 N A - 0,25 N B = 0

Substituímos os valores de N A e N B em função de P :

P - 0,25 0,9327 m g - 0,2353 P - 0,25 0,2668 m g - 0,9412 P = 0

⇒ P - 0,2332 m g + 0,0588 P - 0,0667 m g + 0,2353 P = 0

⇒ 1,294 P = 0,2999 m g

⇒ P = 0,2999 1,294 m g = 0,232 m g

Resposta

P = 0,232 m g

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