Enunciado

O dispositivo robótico é composto pela base estacionária O A , o braço articulado em A , e o braço B C articulado em B . Os eixos de rotação são perpendiculares ao plano da figura. Calcule (a) o momento M A aplicado ao braço A B , necessário para girá-lo em torno da articulação A a 4   r a d / s 2 no sentido anti-horário a partir da posição mostrada, com a articulação B travada e (b) o momento M B aplicado ao braço B C necessário para girá-lo em torno da articulação B na mesma taxa, com a a articulação A travada. A massa do braço A B é de 25   k g e a de B C é de 4   k g , com a parte estacionária da articulação A totalmente excluída e a massa da articulação B dividida igualmente entre os dois braços. Assuma que os centros de massa G 1 e G 2 estão nos centros geométricos dos braços e modele os braços como hastes esbeltas.

Passo 1

(a) Para encontrar a aceleração angular, sempre vamos partir da seguinte fórmula:

∑ M = I α

No primeiro item precisamos calcular o momento de inércia I A dos dois braços ( A B e B C ) em relação a um eixo perpendicular ao plano da página e que passa pelo ponto A .

I A = I A B + I B C

A do braço A B é mais fácil, pois podemos simplesmente usar a fórmula tabelada:

I A B = 1 3 m A B L A B 2

Mas para o braço B C , precisamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I B C = I c m + m B C d 2

Onde I c m = 1 12 m B C L B C 2 e d é a distância entre G 2 e A :

d 2 = 0,350 2 2 + 0,700 2 = 0,521   m

Então:

I A = I A B + I B C

I A = 1 3 m A B L A B 2 + 1 12 m B C L B C 2 + m B C d 2

I A = 1 3 25 0,7 2 + 1 12 4 0,350 2 + 4 0,521

I A = 6,21   k g ∙ m 2

Passo 2

Agora que temos o momento de inércia, fica faltando apenas calcular o momento total em relação ao mesmo ponto A .

Além do momento M A mencionado no enunciado, teremos os momentos dos pesos de cada braço.

∑ M 0 = M A - 25 9,81 0,350 cos ⁡ 45 ° - 4 9,81 0,700 + 0,350 2 cos ⁡ 45 °

∑ M 0 = M A - 85,0

E então:

M A - 85,0 = ( 6,21 ) ( 4 )

M A = 109,8   N ∙ m

Passo 3

(b) Agora vamos fazer uma conta parecida para o momento aplicado ao braço B C com a articulação A travada.

O momento de inércia do braço B C em relação a um eixo perpendicular ao plano da página, e que passa pelo ponto B é:

I B = 1 3 m B C L B C 2

I B = 1 3 4 0,350 2 = 0,1633   k g ∙ m 2

Então:

∑ M B = ( 0,1633 ) ( 4 )

E novamente, temos o momento M B aplicado sobre o braço e o momento do peso m B C g :

M B - 4 9,81 0,175 cos ⁡ 45 ° = 0,1633 4

M B = 5,51   N ∙ m

Resposta

(a) M A = 109,8   N ∙ m .

(b) M B = 5,51   N ∙ m .

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