Enunciado

O cilindro de 12 kg sustentado pelos suportes dos mancais em A e B tem um momento de inércia em relação ao eixo vertical z 0 por meio de seu centro de massa G igual a 0,080   k g ∙ m 2 . O disco e os suportes têm um momento de inércia em relação ao eixo vertical z de rotação igual a 0,60   k g ∙ m 2 . Se um torque M = 16   N ∙ m é aplicado ao disco por meio de seu eixo, com o disco inicialmente em repouso, calcule as componentes horizontais x das forças suportadas pelos mancais em A e B .

Passo 1

Queremos escrever equações para a força e o momento resultante que agem sobre esse sistema, mas para isso precisamos calcular a aceleração angular:

∑ M = I α

Onde I é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo z , e ∑ M é o momento total aplicado sobre o eixo.

O momento de inércia do disco e do suporte já foi dado em relação ao eixo z , mas precisamos usar o teorema dos eixos paralelos para calcular o do cilindro, que foi dado em relação a z 0 :

I = I d i s c o + s u p o r t e + I c i l i n d r o + m d 2

Onde d é a distância entre o eixo z e o eixo z 0 :

I = 0,60 + 0,080 + 12 0,1 + 0,1 2

I = 1,160   k g ∙ m 2

E com isso podemos calcular a aceleração angular no caso em que um momento M = 16   N ∙ m é aplicado sobre o eixo:

M = I α

16 = 1,160 α

α = 13,79   r a d / s 2

Passo 2

Beleza, agora já podemos calcular a aceleração do centro de massa do cilindro, e com isso escrever algumas equações para a força resultante sobre o cilindro.

Começando pela componente tangencial:

∑ F t = m a t

Como o cilindro está a 0,200   m do centro de um disco girando com aceleração angular α , a sua aceleração tangencial é:

a t = r α = ( 0,200 ) ( 13,79 )

E as únicas forças que movem o cilindro na direção tangencial são justamente as duas componentes horizontais de A e B que queremos calcular:

∑ F a t = A + B = m a t

A + B = 12 0,200 13,79 = 33,1   N

Passo 3

E agora vamos escrever uma equação para o momento resultante agindo sobre o centro de massa do cilindro

∑ M 0 = I z α

∑ M 0 = I c i l i n d r o + m d 2 α

∑ M 0 = 0,080 + 12 0,2 2 13,79

∑ M 0 = 7,72   N ∙ m

E agora temos que escrever os momentos das forças agindo sobre o cilindro:

∑ M 0 = 0,100   B + 0,300   A

E então:

0,100   B + 0,300   A = 7,72

Agora ficamos com um sistema de duas equações:

0,100   B + 0,300   A = 7,7 2 A + B = 33,1

Vamos multiplicar a equação de cima por 10 :

B + 3   A = 77 , 2 A + B = 33,1

E agora subtrair a segunda da primeira:

2 A = 44,1

A ≅ 22,1   N

E substituindo em qualquer uma das duas, encontramos que:

B = 11,0   N

Resposta

As componentes horizontais das forças são A = 22,1   N e B = 11,0   N .

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