Enunciado

O dispositivo serve como uma mola de torção compacta. É feito de aço A-36 e composto por um eixo interno maciço C B embutido em um tubo A B e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B . Podemos considerar que o anel em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar. Se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τ a d m =   84   M P a e o ângulo de torção em C estiver limitado a ϕ a d m = 3 ° , determine o torque máximo T que pode ser aplicado na extremidade C .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos analisar essa questão?

O problema pede que determinemos um torque máximo admissível que possa ser aplicado a sua extremidade, não ultrapasse τ a d m = 84   M P a e ϕ = 3 ° . Nos foi fornecido:

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9   P a

c = 12,5   m m = 0,0125   m

c i ( t u b o ) = 18,75   m m = 0,01875   m

c e ( t u b o ) = 25   m m = 0,025   m

L C A = 300   m m = 0,3   m

L B A = 300   m m =   0,2   m

τ a d m = 84   M P a

ϕ = 3 °

O eixo maciço B C e o tubo A B estão submetidos ao mesmo torque T , logo o ângulo de torção na extremidade C será a soma do ângulo do segmento B A e do segmento B C :

ϕ C = ϕ B A + ϕ B C

Podemos usar essa expressão para calcular T , substituindo ϕ C pelo ângulo de torção admissível. Depois substituiremos o valor obtido na equação da tensão de cisalhamento máxima para verificar se obedece ao estabelecido ( τ m á x ≤ 84   M P a ) .

τ m á x = T c 0 J

Se obdecer, então esse será o torque máximo, porque qualquer torque acima desse valor vai ultrapassar o ângulo de 3°. Se exceder, calcularemos fazendo o inverso: substituir primeiro na equação da tensão máxima e depois verificar se obedece aos requisitos do ângulo ( ϕ c ≤ 3 ° ) .

Passo 2

Cálculo dos momentos polares de inércia:

A região B C é uma haste maciça de diâmetro igual a 12,5   m m . Logo,

J B C = π 2 c 4 = π 2 0,0125 4 = 3,8349 ⋅ 10 - 8   m 4

A região B A é um tubo de diâmetro externo igual a   25 m m e raio interno igual a 18,75   m m . Então:

J B A = π 2 c 2 4 - c 1 4 = π 2 0,025 4 - 0,01875 4 = 4,194 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 3

Com os momentos de inércia já calculados, vamos então encontrar o torque usando o ângulo de torção máximo admissível. Como ele foi fornecido em graus, temos q convertê-lo para radianos:

ϕ a d m = 3 ⋅ π 180 = 0,05236   r a d

ϕ C = ϕ B A + ϕ B C

ϕ a d m = T ⋅ L B A J B A ⋅ G + T ⋅ L B C J B C ⋅ G

0,05236   = T ⋅ 0,3   4,194 ⋅ 10 - 7   ⋅ 75 ⋅ 10 9 + T ⋅ 0,6   3,8349 ⋅ 10 - 8 ⋅ 75 ⋅ 10 9

T = 240,02   N ⋅ m

Substituindo o torque na fórmula da tensão, vamos verificar tanto para o segmento B A , quanto para o segmento B C .

Para o segmento B A :

τ B A = T ⋅ c B A J B C = 240,02 ⋅ 0,025 4,194 ⋅ 10 - 7

τ B A = 14,3   M P a

T B A < 84   M P a

Para o segmento B C :

τ B C = T ⋅ c B C J B C = 240,02 ⋅ 0,0125 3,8349 ⋅ 10 - 8

τ B C = 78,23   M P a

T B C < 84   M P a

Ambos os resultados foram menores que a tensão admissível. Portanto, o torque máximo é::

T m á x = 240,02   N ⋅ m

Resposta

T m á x = 240,02   N ⋅ m

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