Enunciado

Dois eixos de aço são acoplados pelas engrenagens mostradas. Determinar o maior torque T que pode ser aplicado em D , se a tensão admissível de cisalhamento é de 50   M P a para ambos os eixos.

Passo 1

Para determinarmos o maior torque admissível aplicado em D vamos ter que utilizar a equação do torque, abaixo.

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Além disso é importante lembrar que nas engrenagens a força entre elas é a mesma, logo o torque será diferente, lembrando que:

T = F ⋅ d

No caso das engrenages a distância d será equivalente ao raio. Como temos que as forças será iguais, podemos mudar essa equação para se tornar um pouco mais prática:

F = T d

Ou

F = T R

Como as forças são iguais, vamos ter que

F 1 = F 2

T 1 R ! = T 2 R 2

Passo 2

Vamos começar calculando os momentos de inércia polar para as barras A B e C D , para depois calcularmos o torque:

J = π ⋅ c 4 2

Para a barra C D , que tem diâmetro de 50   m m e raio de 25 m m

J = π ⋅ ( 25 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 390625 × 10 - 12 2

J C D = 613592 × 10 - 12   m 4

Para a barra A B , que tem diâmetro de 60   m m e raio de 30 m m

J = π ⋅ ( 30 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 810000 × 10 - 12 2

J A B = 1272345 × 10 - 12   m 4

Passo 3

Vamos utilizar a seguinte equação demonstrada no passo 1, para saber a relação entre os torques T A B e T C D

T 1 R ! = T 2 R 2

Logo vamos ter

T C D 60 = T A B 100

T C D = 60 100 ⋅ T A B

T C D = 0,6 ⋅ T A B

Passo 4

Agora podemos calcular o torque para ambas as barras. Como a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = T ⋅ c J

O torque vai ser calculada como:

T = τ ⋅ J c

Primeiro para a barra C D , lembrando que ela tem raio igual a 25   m m

T = ( 50 × 10 6 ) ⋅ ( 613592 × 10 - 12 ) 25 × 10 - 3

T = 50 ⋅ 613592 25 ⋅ ( 10 6 ) ⋅ ( × 10 - 12 ) 10 - 3

T = 1227184 × 10 - 3   N ⋅ m

T C D = 1227 , 184   N ⋅ m

Passo 5

Vamos fazer a mesma coisa mas agora para a barra A B . Como a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = T ⋅ c J

O torque vai ser calculada como:

T = τ ⋅ J c

Para a barra A B , lembrando que ela tem raio igual a 2 0   m m

T = ( 50 × 10 6 ) ⋅ ( 1272345 × 10 - 12 ) 20 × 10 - 3

T = 50 ⋅ 1272345 25 ⋅ ( 10 6 ) ⋅ ( × 10 - 12 ) 10 - 3

T = 2544690 × 10 - 3   N ⋅ m

T A B = 2544 , 690   N ⋅ m

Como queremos o torque em D vamos ter que utilizar a relação entre os torque do passo 3

T C D = 0,6 ⋅ T A B

T C D = 0,6 ⋅ 2544,690

T C D = 1526,814   N ⋅ m

Passo 6

Agora temos os dois torques “máximos”, ambos aplicados a D , para que cada barra não ultrapasse os 50   M P a da tensão cisalhante:

T C D = 1227,184   N ⋅ m

T C D = 1526,814   N ⋅ m

Como não queremos que nenhuma barra entre em falha, temos que escolher a menor dentre as duas torções.

T C D = 1227,184   N ⋅ m

Resposta

T C D = 1227,184   N ⋅ m

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