Enunciado

Um torque de intensidade T = 10 0   N ⋅ m é aplicado ao eixo A B do trem de engrenagens mostrado. Sabendo-se que os diâmetros dos três eixos maciços são, respectivamente, d A B = 21   m m , d C D = 30   m m e d E F = 40   m m , determinar a máxima tensão de cisalhamento no: (a) eixo A B ; (b) eixo C D ; (c) eixo E F .

Passo 1

Aqui temos um trem de engrenagens onde o troque é transmitido desde o eixo A B até o eixo E F , como cada eixo está acoplado a engrenagens de diferentes raios teremos torques diferentes, seguindo a seguinte lógica.

Nas engrenagens a força entre elas é a mesma, logo o torque será diferente, lembrando que:

T = F ⋅ d

No caso das engrenages a distância d será equivalente ao raio. Como temos que as forças será iguais, podemos mudar essa equação para se tornar um pouco mais prática:

F = T d

Ou

F = T R

Como as forças são iguais, vamos ter que

F 1 = F 2

T 1 R ! = T 2 R 2

Com isso vamos ter a relação entre os torques atuantes em cada barra. Assim, basta substituir na equação do torque:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Passo 2

Vamos utilizar a seguinte equação demonstrada no passo 1, para saber a relação entre os torques T A B , T C D e T E F

T 1 R ! = T 2 R 2

Logo vamos ter

T A B 25 = T C D 60

T A B = 25 ⋅ T C D 60

T A B = 25 60 ⋅ T C D

T A B = 0,416 ⋅ T C D

Como o torque de A B é igual a 10 0   N ⋅ m

10 0 = 0,416 ⋅ T C D

T C D = 10 0 0,416

T C D = 2 40   N ⋅ m

E

T C D 30 = T E F 75

T C D = 30 75 ⋅ T E F

T C D = 0,4 ⋅ T E F

Como o torque de C D é 240   N ⋅ m

240 = 0,4 ⋅ T E F

T E F = 240 0,4

T E F = 600   N ⋅ m  

Passo 3

Antes de calcularmos a tensão cisalhante de cada eixo, vamos calcular o momento de inércia polar. Lembrando que o momento de inércia polar J é calculado como.

J = π ⋅ c 4 2

Para o eixo A B , que possui raio igual a 10,5   m m :

J = π ⋅ ( 10,5 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 12155 × 10 - 12 2

J A B = 19093 × 10 - 12   m 4

Para o eixo C D , que possui raio igual a 1 5   m m :

J = π ⋅ ( 1 5 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 50625 × 10 - 12 2

J C D = 79521 × 10 - 12   m 4

Para o eixo E F , que possui raio igual a 20   m m :

J = π ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 160000 × 10 - 12 2

J E F = 251327,4 × 10 - 12   m 4

Passo 4

Agora vamos utilizar a equação do torque para achar as tensões máximas de cisalhamento. Para o eixo A B :

τ = T A B ⋅ c A B J A B

τ = 100 ⋅ 10,5 × 10 - 3 19093 × 10 - 12

τ = 100 ⋅ 10,5 19093 ⋅ 10 - 3 10 - 12

τ = 0,055 ⋅ 10 9   P a

τ = 0,055 ⋅ 10 3   M P a

τ A B = 55   M P a

Passo 5

Agora vamos utilizar a equação do torque para achar as tensões máximas de cisalhamento. Para o eixo C D :

τ = T C D ⋅ c C D J C D

τ = 240   ⋅ 15 × 10 - 3 79521 × 10 - 12

τ = 240 ⋅ 15 79521 ⋅ 10 - 3 10 - 12

τ = 0,045 ⋅ 10 9   P a

τ = 0,045 ⋅ 10 3   M P a

τ C D = 45   M P a

Passo 6

Agora vamos utilizar a equação do torque para achar as tensões máximas de cisalhamento. Para o eixo E F :

τ = T E F ⋅ c E F J E F

τ = 600 ⋅ 20 × 10 - 3 251327,4 × 10 - 12

τ = 600 ⋅ 20 251327,4 ⋅ 10 - 3 10 - 12

τ = 0,0 48 ⋅ 10 9   P a

τ = 0,048 ⋅ 10 3   M P a

τ E F = 48   M P a

Resposta

a) Para AB

τ A B = 55   M P a

b) Para CD

τ C D = 45   M P a

c) Para EF

τ E F = 48   M P a

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