Enunciado

Dois eixos de aço são acoplados pelas engrenagens mostradas. Determine o maior torque T que pode ser aplicado em A , se a tensão admissível de cisalhamento é de 50   M P a , para ambos os eixos.

Passo 1

Para resolver este exercício teremos de achar a relação entre os torques gerados em cada eixo. Para isso, é importante lembrar que nas engrenagens a força entre elas é a mesma, logo o torque será diferente, lembrando que:

T = F ⋅ d

No caso das engrenages a distância d será equivalente ao raio. Como temos que as forças será iguais, podemos mudar essa equação para se tornar um pouco mais prática:

F = T d

Ou

F = T R

Como as forças são iguais, vamos ter que

F 1 = F 2

T 1 R ! = T 2 R 2

Posteriormente vamos aplicar a equação do torque:

τ = T ⋅ c J

Onde:

  • τ Representa a tensão de cisalhamento.
  • T A torção a qual a barra está submetida.
  • c A distância do centro ao ponto de aplicação.
  • J O momento de inércia polar.

Lembrando que o momento de inércia polar é calculado como:

J = π ⋅ c 4 2

Passo 2

Vamos utilizar a seguinte equação demonstrada no passo 1 para achar a relação entre os torques:

T 1 R ! = T 2 R 2

Logo vamos ter

T C D 250 = T A B 100

T C D = 250 ⋅ T A B 100

T C D = 250 100 ⋅ T A B

T C D = 2,5 ⋅ T A B

Passo 3

Afim de utilizar a equação do torque, temos que primeiro calcular os momentos de inércia polares.

J = π ⋅ c 4 2

Para a barra A B , que tem diâmetro de 40   m m e raio de 20 m m

J = π ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 160000 × 10 - 12 2

J = 251327 × 10 - 12   m 4

Para a barra C D , que tem diâmetro de 60   m m e raio de 30 m m

J = π ⋅ ( 30 × 10 - 3 ) 4 2

J = π ⋅ 810000 × 10 - 12 2

J = 1272345 × 10 - 12   m 4

Passo 4

Agora podemos calcular o torque para ambas as barras, como a tensão de cisalhamento é dada por

τ = T ⋅ c J

Podemos achar o torque da seguinte forma:

T = τ ⋅ J c

Calculando primeiro para a barra A B , lembrando que ela tem raio igual a 20   m m

T A B = ( 50 × 10 6 ) ⋅ ( 251327 × 10 - 12 ) 20 × 10 - 3

T A B = 50 ⋅ 251327 20 ⋅ ( 10 6 ) ⋅ ( 10 - 12 ) 10 - 3

T A B = 628317 × 10 - 3   N ⋅ m

T A B = 628,3   N ⋅ m

Passo 5

Agora para a barra C D , lembrando que ela tem raio igual a 30   m m

T C D = ( 50 × 10 6 ) ⋅ ( 1272345 × 10 - 12 ) 30 × 10 - 3

T C D = 50 ⋅ 1272345 30 ⋅ ( 10 6 ) ⋅ ( 10 - 12 ) 10 - 3

T C D = 2120575 × 10 - 3   N ⋅ m

T C D = 2120,6   N ⋅ m

Como o problema pede o maior torque que pode ser aplico em A , temos que utilizar a relação de torques do passo 2

T C D = 2,5 ⋅ T A B

2120,6   = 2,5 ⋅ T A B

  T A B = 2120,6 2,5

T A B = 848,23   N ⋅ m

Logo, dentre os dois torques T A B = 628,3   N ⋅ m

E

T A B = 848,23   N ⋅ m

O maior que pode ser aplicado é aquele que não coloca nenhuma das duas barras sob risco de falha, portanto devemos escolher o menor

T A B = 628,3   N ⋅ m

Resposta

T A B = 628,3   N ⋅ m

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