Enunciado

Dois lados opostos de uma esfera de raio r 0 foram cortados para fabricar o suporte apresentado na figura. Se a altura original do suporte for r 0 / 2 , determine até que distância ele se encurta quando suporta uma carga P . O módulo de elasticidade é E .

Passo 1

Desejamos encontrar qual o valor ao qual a altura da nossa estrutura vai se encontrar quando uma carga de módulo P atingir nosso material, sendo o módulo de elasticidade igual a E . Para esse caso vamos ter que esse encurtamento ( δ ) vai ser dado a partir de uma integral que é

δ = 2 ⋅ ∫ 0 h P   d y A y ⋅ E

Passo 2

Da geometria do problema temos a seguinte relação entre x , y   e   r 0 .

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo destacado vamos ter

r 0 2 = x 2 + y 2 → x 2 = r 0 2 - y 2

Sendo assim, vamos ter

A y = π ⋅ x 2 = π ⋅ ( r 0 2 - y 2 )

Passo 3

Tendo em vista que nossa altura y = h = 0,25 ⋅ r 0 podemos resolver a integral e obteremos

δ = 2 ⋅ ∫ 0 h P   d y A y ⋅ E = 2 P E ⋅ ∫ 0 h   d y π ⋅ r 0 2 - y 2 =

δ = 2 P π ⋅ E ⋅ 1 2 r 0 ⋅ ln ⁡ r 0 + y r 0 - y 0 0,25 r 0 =   0,511 ⋅ P π ⋅ r 0 ⋅ E

Resposta

δ = 0,511 ⋅ P π ⋅ r 0 ⋅ E

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