Enunciado

O sistema articulado é composto por três elementos de aço A - 36 conectados por pinos, cada um com área de seção transversal de 500   m m 2 . Se uma força vertical P   =   250   k N for aplicada à extremidade B do elemento A B , determine o deslocamento vertical do ponto B .

Passo 1

Fala, querido! Desejamos encontrar o alongamento vertical do ponto B dado o valor da força descrita no problema.

Precisamos começar, vamos lembrar que o alongamento em uma barra dado por uma força aplicada é:

δ = F o r ç a   a p l i c a d a ⋅ ( c o m p r i m e n t o   d a   b a r r a ) M o d .   d e   e l a s t i c i d a d e ⋅ ( Á r e a   d a   s e ç ã o   d a   b a r r a ) = F L E A

Essa força aplicada em B vai causar alongamento nas barras DA, CA e AB. Para achar o alongamento em cada barra, precisamos do comprimento de cada barra. E a força precisa estar na direção a barra. Normal a seção transversal da barra.

Aí reparamos que as barras A C   e   A D apresentam um inclinação, então, vemos que vai ser preciso decompor a força P força em duas componentes, na qual apenas a componente vertical nos interessa. E que precisamos calcular o comprimento dessas barras assim:

L a c = L a d = a 2 + b 2 = 1,5 2 + 2 2 = 2,5 m

Além disso o ângulo de inclinação vai ser dado por

θ = a rc tan ⁡ 1,5 2 ≈ 36,87 °

Esse é ângulo entre C A e vertical.

Com essas coisinhas pensadas, vamos achar as forças para cada barra. Vem!

Passo 2

Pelo desenho, a força em AB é P mesmo, porque ela já está na direção da nossa barra. Assim,

F a b = 250   k N

L = 3   m

E = 200   G P a   ( t a b e l a d o )

A = 500   m m 2 = 500 ⋅ 10 - 6   m 2

O alongamento fica:

δ a b = F L E A = 250 10 3 3 200 10 9 500 10 - 6 = 7.5   m m

Aí falta achas as forças nas outras barras. Das equações de equilíbrio tiramos que

∑ F y = 0 → F a d + F a c ⋅ s e n θ - P = 0

Da geometria do problema percebemos que F a d = F a c , dessa forma

F a d + F a c ⋅ s e n θ = P → 2 F a d = P s e n θ

F a d = P 2 s e n θ = 156,25   k N

Agora vamos para o alongamento. Por causa da simetria da figura e do carregamento. E como todas as barra são do mesmo material, temos que

δ a d = δ a c = F a c ⋅ L a c E ⋅ A = 156.25 2.5 10 3 200 10 9 500 10 - 6 ≈ 3,9063   m m  

Passo 3

Vamos entender como o ponto A se desloca verticalmente.

Dado que o ponto A se desloca devido ao alongamento, podemos estabelecer um novo ponto A ' e, então, fechamos um triângulo A A ' C e teremos

L a ' c = L a c + δ a c

Com L A A ' = δ a   e   θ a ' = 180 ° - θ , isso vai ser importante para conseguirmos encontrar a deformação em B , porque precisamos achar A A ' .

Podemos usar lei dos cossenos:

2,5 + δ a c 2 = 2,5 2 + A A ' 2 - 2 2,5 A A ' cos ⁡ θ a '

2,5 + 0,0039 2 = 2,5 2 + A A ' 2 - 2 2,5 A A ' cos ⁡ ( 180 ° - 36,87 ° )

Aí a gente resolve essa equação do segundo grau e acha:

A A ' = 4,87   m m

E o deslocamento vertical de B vai ser esse deslocamento vertical de A   mais o alongamento de A B :

B B ' = A A ' + δ b a = 12,37   m m

Resposta

B B ' = 12,37   m m

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