Enunciado

Duas chapas de reforço são soldadas à viga de aço laminado mostrada. Usando E = 200 GPa, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão na extremidade A.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Nesse exercício nós vamos dividir o DCL em dois, um com a força localizada de 40 kN e o outro com o carregamento distribuído de 90 kN/m. Então, para o primeiro caso, teremos:

Beleza, para esse DCL, teremos momento ao longo de toda a viga, no entanto como a seção varia entre AB e BC, precisamos calcular as duas parcelas de E I . Começando pela parcela AB, precisamos pegar o momento de inércia para a viga W410 X 60 lá no apêndice C do livro, onde teremos:

I = 216.10 6   m m 4 = 216.10 - 6   m 4

Então o produto EI na porção AB será:

E I A B = 200.10 9 216.10 - 6 → E I A B = 43,2.10 6   N . m 2 = 43,2.10 3   k N . m 2

Agora para a porção BC da viga, temos que o momento de inércia resultante será o momento da viga mais o momento gerado pela adição das placas de reforço. Então o momento resultante será:

I B C = I v i g a + 2 A p l a c a d 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

I B C = 216.10 - 6 + 2 0,012 0,2 0,203 + 0,006 2 → I B C = 425,67.10 - 6   m 4

Então o produto EI para a porção BC será:

E I B C = 200.10 9 425,67.10 - 6

E I B C = 85,13.10 6   N . m 2 = 85,13.10 3   N . m 2

Passo 3

Agora, como temos uma força localizada para o nosso primeiro DCL, sabemos que o diagrama de momento, e consequentemente o diagrama M / E I , será uma reta inclinada. Então só precisamos achar os valores dos momentos em B e em C. Sabendo que o momento nesse caso é dado por:

M = - 40 x

Então, o momento no ponto B e no ponto C serão:

M B = - 40 0,6 → M B = - 24   k N . m

M C = - 40 2,7 → M C = - 108   k N . m

Então, os valores M / E I nesses dois pontos serão:

M E I 1 B = - 24 43,2.10 3 → M E I 1 B = - 0,555.10 - 3   m - 1

M E I 1 C = - 108 85,13.10 3 → M E I 1 C = 1,269.10 - 3   m - 1

Beleza, com esses valores conseguimos desenhar o diagrama M / E I para o primeiro DCL (observe que vamos dividir a porção BC em dois triângulos, para que possamos calcular a área e o centroide com mais facilidade) será:

Passo 4

Agora vamos considerar o segundo DCL, onde temos o carregamento distribuído, nesse caso, nosso DCL será:

Então, sabemos que para os casos onde temos somente carregamento distribuído, teremos uma curva de momento, e consequentemente de M / E I , parabólica, onde o momento será dado por:

M = - w x 2 2

Então, no nosso caso, teremos momento 0 em B, onde começa o carregamento e momento máximo em C, que será:

M C = - 90 2,1 2 2 → M C = - 198,45   k N . m

Então, o valor de M / E I nesse ponto será:

M E I 2 C = M C E I B C = - 198,45 85,13.10 3 → M E I 2 C = - 2,331.10 - 3   m - 1

E o diagrama M / E I para esse carregamento será:

Passo 5

Então, agora que temos os diagramas M / E I para os dois carregamentos, vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, sempre com relação a base das figuras, então teremos 3 triângulos e 1 triângulo com hipotenusa parabólica, caso onde iremos consultar a Fig. 9.31 vista nessa seção para calcular a área e o centroide, então teremos:

A 1 = b h 2 = 0,6 - 0,555.10 - 3 2 → A 1 = - 0,1667.10 - 3

x - 1 = b 3 = 0,6 3 → x - 1 = 0,2   m

A 3 = b h 2 = 2,1 - 1,269.10 - 3 2 → A 3 = - 1,332.10 - 3

x - 3 = b 3 = 2,1 3 → x - 3 = 0,7   m

A 2 = 0,6 2,7 A 3 → A 2 = - 0,296.10 - 3

x - 2 = b 3 = 2,1 3 → x - 2 = 0,7   m

A 4 = b h 3 = 2,1 - 2,331.10 - 3 3 → A 4 = - 1,6317.10 - 3

x - 4 = b 4 = 2,1 4 → x - 4 = 0,525   m

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3 + A 4

Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:

θ A - 0 = - 0,1667.10 - 3 + - 0,296.10 - 3 + - 1,332.10 - 3 + - 1,6317.10 - 3

θ A = - 3,426.10 - 3   r a d

Passo 6

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / C = A A C x -

Em que A A C é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A - t C = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4

t A - 0 = - 0,1667.10 - 3 0,6 - 0,2 + - 0,296.10 - 3 0,6 + 0,7 + - 1,332.10 - 3 2,7 - 0,7 + - 1,6317.10 - 3 2,7 - 0,525

t A = - 6,66.10 - 3   m

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = - 3,426.10 - 3   r a d

b : t A = - 6,66.10 - 3   m

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