Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa, tudo bem?? Lembra de ficar esperto com esse carregamento distribuído em! Então para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W360 X 32,9 lá no apêndice C do livro, onde teremos:

I = 82,8.10 6   m m 4 = 82,8.10 - 6   m 4  

Beleza! Como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, precisamos desenhar um carregamento equivalente que vá até o final da viga, para que possamos escrever o carregamento no formato da equação de singularidade. Então o carregamento equivalente será:

Agora, sabendo que a derivada da função de cisalhamento é igual ao oposto do carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - 65,7 < x - 0,762 > 0 - 65,7 < x - 2,286 > 0

d V d x = - 65,7 < x - 0,762 > 0 + 65,7 < x - 2,286 > 0

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - 65,7 < x - 0,762 > 1 + 65,7 < x - 2,286 > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y , então nossa constante será:

C = A y

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - 65,7 < x - 0,762 > 1 + 65,7 < x - 2,286 > 1 + A y

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - 65,7 < x - 0,762 > 1 + 65,7 < x - 2,286 > 1 + A y

Integrando essa expressão, teremos:

M = - 65,7 2 < x - 0,762 > 2 + 65,7 2 < x - 2,286 > 2 + A y x + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - 65,7 2 < x - 0,762 > 2 + 65,7 2 < x - 2,286 > 2 + A y x

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - 65,7 2 < x - 0,762 > 2 + 65,7 2 < x - 2,286 > 2 + A y x

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - 65,7 6 < x - 0,762 > 3 + 65,7 6 < x - 2,286 > 3 + A y x 2 2 + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a condição de contorno no engaste em E, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:

x = 3,048   m → d y d x = 0

Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:

E I . 0 = - 65,7 6 < 3,048 - 0,762 > 3 + 65,7 6 < 3,048 - 2,286 > 3 + A y 3,048 2 2 + C 1

0 = - 130,81 + 4,845 + 4,645 A y + C 1 → C 1 = 125,96 - 4,645 A y

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - 65,7 24 < x - 0,762 > 4 + 65,7 24 < x - 2,286 > 4 + A y x 3 6 + 125,96 x - 4,645 A y x + C 2

Passo 5

Agora para encontrar o valor da constante C 2 , nós vamos utilizar a condição de contorno no ponto A, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . ( 0 ) = - 65,7 24 < 0 - 0,762 > 4 + 65,7 24 < 0 - 2,286 > 4 + A y 0 3 6 + 125,96 ( 0 ) - 4,645 A y ( 0 ) + C 2

C 2 = 0

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - 65,7 24 < x - 0,762 > 4 + 65,7 24 < x - 2,286 > 4 + A y x 3 6 + 125,96 x - 4,645 A y x

y = 1 E I - 65,7 24 < x - 0,762 > 4 + 65,7 24 < x - 2,286 > 4 + A y x 3 6 + 125,96 x - 4,645 A y x

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = - 65,7 6 < x - 0,762 > 3 + 65,7 6 < x - 2,286 > 3 + A y x 2 2 + 125,96 - 4,645 A y

d y d x = 1 E I - 65,7 6 < x - 0,762 > 3 + 65,7 6 < x - 2,286 > 3 + A y x 2 2 + 125,96 - 4,645 A y

Passo 6

Agora para a letra (a), para descobrir a reação no apoio A, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em x = 3,048   m , pois sabemos que nesse ponto não temos deflexão, ou seja:

x = 3,048   m → y = 0

Substituindo esses valores na equação para a deflexão, teremos:

0 = 1 E I - 65,7 24 < 3,048 - 0,762 > 4 + 65,7 24 < 3,048 - 2,286 > 4 + A y 3,048 3 6 + 125,96 ( 3,048 ) - 4,645 A y 3,048

0 = - 74,758 + 0,922 + 4,719 A y + 383,926 - 14,158 A y

A y = 32,85   k N

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = 1,524   m , além de substituir as expressões que já conhecemos, então teremos:

y = 1 200.10 9 82,8.10 - 6 ( 1000 ) - 65,7 24 < 1,524 - 0,762 > 4 + 65,7 24 < 1,524 - 2,286 > 4 + ( 32,85 ) 1,524 3 6 + 125,96 ( 1,524 ) - 4,645 ( 32,85 ) ( 1,524 )

y = 1 16,56.10 6 ( 1000 ) - 0,923 + 0 + 19,379 + 191,963 - 232,54

y = - 1,336.10 - 3   m

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : A y = 32,85   k N

b : y = - 1,336.10 - 3   m

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A
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Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade D. Usar E = 200 G P a .