Enunciado

Efetue um cálculo no computador para um objeto se movimentando verticalmente no ar sob a ação da gravidade e sujeito a uma força de retardo proporcional ao quadrado da velocidade do objeto (veja a Equação 2.21). Use as variáveis m para massa e r para 0 raio do objeto. Todos os objetos são liberados em queda da cobertura de um edifício com 100   m de altura. Use um valor de c w = 0,5 e gere gráficos no computador para altura y , velocidade v e aceleração a versus t sob as condições a seguir e responda às questões:

(a) Uma bola de beisebol de massa r = 0,14 5   k g e raio r = 0,0366   m .

(b) Uma bola de pingue-pongue de massa m = 0,0024   k g e raio r = 0,019   m .

(c) Uma gota de chuva de raio r = 0.003   m .

(d) Todos os objetos alcançam suas velocidades terminais? Discuta os valores das velocidades ter- minais e explique suas diferenças.

(e) Por que uma bola de beisebol pode ser lançada mais longe do que uma bola de pingue-pongue, mesmo com a bola de beisebol tendo uma massa maior?

(f) Discuta as velocidades terminais de gotas de chuva grandes e pequenas. Quais serão as velocidades terminais de gotas de chuva com raios 0,002   m e 0,004   m ?

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Primeiramente para o item a, temos que a equação de Prandtl para a resistência do ar, nos dá:

W = 1 2 c w ρ A v 2

Onde c w é o coeficiente de arrasto adimensional, ρ é a densidade do ar, v é a velocidade e A é a área da seção transversal do objeto medida perpendicularmente à velocidade. Mas v = y ˙ , então:

W = 1 2 c w ρ A y ˙ 2

A força resultante na direção y é igual à força da gravidade subtraída da força de resistência do ar:

w y - g = m y ¨

1 2 c w ρ A y ˙ 2 j - g = m y ¨

Rearranjando a equação, temos:

y ¨ = c w ρ A y ˙ 2 2 m - g = g y ˙ v t 2 - 1

Onde v t = 2 m g / c w ρ A é a velocidade terminal. Agora precisamos plotar essas funções, com condições iniciais de y ˙ = 0   m / s e y i = 100   m . O procedimento será o seguinte:

  • Divida o intervalo de tempo em pequenos períodos d t .
  • Encontre a velocidade após d t a partir da velocidade inicial.
  • Multiplicamos a aceleração y ¨ por um pequeno intervalo de tempo d t e adicione-o à velocidade anterior.
  • Finalmente multiplicamos a velocidade y ˙ por d t e adicione-o à posição anterior.

Agora vamos iniciar nosso item (a), para uma bola de baseball de m = 0,145   k g e raio r = 0,0366   m , a área é:

A = π r 2

A = π 0,0366 2 = 0,00421   m 2

Usando um código em python ilustrado abaixo, iremos plotar os gráficos.

Passo 2

Letra (b)

Agora para nosso item (b), para uma bola de pingue-pongue de m = 0 , 0024   k g e raio r = 0,0 19   m , a área é:

A = π r 2

A = π 0,0 19 2 = 0,00 1134   m 2

Os gráficos são mostrados na figura a seguir:

Passo 3

Letra (c)

Para uma gota de chuva com raio de r = 0,003   m , a massa é igual ao volume dessa gota multiplicado pela densidade da água, ou seja:

m = V ρ

m = 4 3 π r 3 ρ

= 4 3 π 0,003   m 3 ( 997   k g / m ^ 3 )

= 1,1276 × 10 - 4   k g

A área, portanto, é:

A = π r 2 = π 0,003   m 2 = 2,827 × 10 - 5   m 2

Os gráficos são mostrados na figura a seguir:

Passo 4

Letra (d)

Tomando ρ = 1,3   k g ∙ m - 3 como densidade do ar, as velocidades terminais são (a) 32,2   m / s , (b) 8,0   m / s e (c) 11,0   m / s para a bola de beisebol, pingue-pongue e gota de chuva, respectivamente. Tanto a bola de pingue-pongue quanto a gota de chuva essencialmente atingem suas velocidades terminais no momento em que atinge o solo. Se nós reescrevermos a massa como densidade média vezes volume, então descobrimos que v t ∝ ρ m a t e r i a l r . A diferenças nas velocidades terminais dos três objetos podem ser explicadas em termos de suas densidades e tamanhos.

Passo 5

Letra (e)

Nossa equação diferencial mostra que o efeito da resistência do ar é uma aceleração que é inversamente proporcional ao quadrado da velocidade terminal. Como a bola de beisebol tem uma maior velocidade terminal do que a bola de pingue-pongue, a magnitude de sua desaceleração é menor para uma dada velocidade. Se uma pessoa lança os dois objetos com a mesma velocidade inicial, a bola de beisebol vai mais longe porque tem menos arrasto.

Passo 6

Letra (f)

Da parte (e) vemos que a velocidade terminal é proporcional à raiz quadrada da densidade do material multiplicada pelo raio da gota, já que ambas as gotas têm a mesma densidade do material, então:

v t ∝ r

Para r 1 = 0,004   m e r 2 = 0,00 2   m , nós temos:

r 1 r 2 = 2

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o

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