Enunciado

O eixo está apoiado sobre mancais que não oferecem resistência a carga axial. Se a tensão normal admissível para o eixo for σ a d m = 80   M P a , determine, com aproximação de 1   m m , o menor diâmetro do eixo que suportará a carga. Use a teoria de falha da energia de distorção máxima.

Passo 1

Fala aí galera, tudo beeem?. A gente quer achar o diâmetro para essa barra usando a teoria de falha da energia de distorção máxima.

Como a gente tem um eixo com engrenagens, precisamos começar fazendo o diagrama de momento e torque para esse carregamento. Vamos seguir um passo a passo. Vai dar bom!

Vamos então calcular as reações e apoio. O próprio enunciado diz que os mancais só exercem força em x e z (eles não tem resistência normal, ou seja, na direção y ), então temos reações nessas duas direções em A e B . Vamos considerar todas nos sentidos positivos de x e z .

Esse é o nosso DCL

A gente colocou essa barra mais clara para representar o ponto de aplica das forças que estão nos discos, tá?

Aí usando as equações de equiíbrio de forças e momentos, achamos que

A x = - 54,13   N

A z = 118,75   N

B x = 184,03 N

B z = 156,25   N

Passo 2

Com as reações dos apoios calculadas, vamos esboçar os diagramas de momento fletor para M x , M z e T :

Para fazer os de momento, a gente calcula os mometos nas seções de aplicação de forças e depois liga os pontos do gráfico por retas, já que só temos cargas concentradas.

Para fazer o de torção, a gente acha o valor para torção nas seções entre as cargas concentradas. Esses valores serão constantes para cada uma dessas seções.

Com esses diagramas a gente escolhe o ponto onde temos a maior combinação de momentos e torque.

Vê que no ponto x = 0,75   m , temos momentos máximos em relação ao dois eixos e torque máximo. Então a gente escolhe ele. Nesse ponto:

M x = 39,0625   N . m

M y = 46,01 3   N . m T = 15   N . m

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o raio do eixo, para depois calcularmos o diâmetro. Mas precisamos achar uma expressão para σ a d m pela teoria de falha da energia de distorção máxima. Ela diz que:

σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 = σ a d m 2

Pela transformação de tensões, temos essa expressão para as tensões principais σ 1 e σ 2 :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Na nossa seção só temos tensão normal em y já que os momentos em z e x causam tensão normal nessa direção na nossa seção. Ela é dada pela fórmulinha do momento M c I . E a tensão de cisalhemento pela fórmulinha da torção T c J . Ficamos com algo assim:

σ 1,2 = σ y 2 ± σ y 2 2 + τ x y 2 → σ 1,2 = M c 2 I ± M c 2 I 2 + T c J 2

Onde I = π c 4 4 e J = π 2 c 4 . Substituindo ali em cima e simplificando

σ 1 = 2 M π c 3 + 2 M π c 3 2 + 2 T π c 3 2 ,   σ 2 = 2 M π c 3 - 2 M π c 3 2 + 2 T π c 3 2

Passo 4

Subsituindo essas tensões principais na expressão da teoria:

σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 = σ a d m 2

Usando produtos notáveis:

2 M π c 3 + 2 M π c 3 2 + 2 T π c 3 2 2 - 2 M π c 3 2 - 2 M π c 3 2 - 2 T π c 3 2 + 2 M π c 3 - 2 M π c 3 2 + 2 T π c 3 2 2 = σ a d m 2

Abrindo os produtos notáveis e simplificando:

2 2 M π c 3 2 + 2 2 M π c 3 2 + 2 2 T π c 3 2 + 2 T π c 3 2 = σ a d m 2

4 2 M π c 3 2 + 3 2 T π c 3 2 = σ a d m 2

Isolando c :

c = 4 π 2 ( σ a d m ) ²     4 M 2 + 3 T 2 1 6

Ufa! Essa vai ser nossa expressão para o raio para essa teoria. Vamos seguir.

Passo 5

Substitiundo os valores:

c = 4 π 2 ( σ a d m ) ²     4 M 2 + 3 T 2 1 6 c = 4 π 2 80 × 10 6 2   4 × 60,354   2 + 3 × 15 2 1 6

c = 9,942   m m  

Logo o diâmetro fica

d = 2 c d = 2 × 9,942   d ≅ 20   m m    

Resposta

d ≅ 2 0   m m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.
Uma viga de parede fina com espessura uniforme tem a seção transversal mostrada. Determinar a dimensão b , para que o centro de cisalhamento da viga esteja localizado no ponto indicado.
Para a viga em balanço e o carregamento dado, determinar o ponto onde a tensão de cisalhamento é mázima e o corresponde valor da tensão: (a) ao longo da linha B ' D ' da alma.
Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.
Uma viga de parede fina com espessura uniforme tem a seção transversal mostrada. Determinar a dimensão b , para que o centro de cisalhamento da viga esteja localizado no ponto indicado.