Enunciado

Uma viga de parede fina com espessura uniforme tem a seção transversal mostrada. Determinar a dimensão b , para que o centro de cisalhamento da viga esteja localizado no ponto indicado.

Passo 1

Para acharmos a localização do ponto O , ou seja, a distância e vamos fazer o seguinte passo a passo:

  1. Achar a tensão cisalhante.
  2. Calcular, por meio de integral, a força interna atuante na bara.
  3. Com essa força achar o momento atuante.

Passo 2

Neste problema teremos que dividir a seção em duas partes, parte A B e a parte B D porque cada uma delas vai gerar um momento em relação a O . Para achar a tensão cisalhanete temos que encontrar o momento estático de cada parte, fazendo para A B .

Q A B = A ⋅ y -

É importante lembrar que vamos pegar apenas um pedaço da barra que vai até certo ponto y e não a barra inteira, de forma que possamos integrar isso depois.

A = t ⋅ ( 90 - y )

y - = 90 + y 2

Q A B = t ⋅ 90 - y ⋅ ( 90 + y ) 2

Q A B = t ⋅ ( 90 2 - y 2 ) 2

Agora podemos achar a tensão cisalhante:

τ = Q V I t

τ = t ⋅ ( 90 2 - y 2 ) 2 V I t

τ = ( 90 2 - y 2 ) V 2 I

Passo 3

Por meio de uma integral vamos achar a força atutante na barra A B :

F A B = ∫ τ ⋅ d A

F A B = ∫ ( 90 2 - y 2 ) V 2 I ⋅ d A

Transformando d A = t ⋅ d y

F A B = ∫ ( 90 2 - y 2 ) V 2 I ⋅ t ⋅ d y

F A B = V 2 I ⋅ t ∫ ( 90 2 - y 2 ) ⋅ d y

F A B = V 2 I ⋅ t ⋅ 90 2 ⋅ y - y 3 3 30 90

F A B = V 2 I ⋅ t ⋅ 90 3 - 90 3 3 - 90 2 ⋅ 30 - 30 3 3

F A B = V t 2 I 252000

Passo 4

Agora vamos executar os mesmos dois passos para a parte B D :

Q B D = Q A B + A ⋅ x -

É importante lembrar que vamos pegar apenas um pedaço da barra que vai até certo ponto x e não a barra inteira, de forma que possamos integrar isso depois.

A = t ⋅ x

x - = 30

Q B D = t ⋅ ( 90 2 - 30 2 ) 2 + t ⋅ x ⋅ 30

Agora podemos achar a tensão cisalhante:

τ = V I t ⋅ t ⋅ ( 90 2 - 30 2 ) 2 + t ⋅ x ⋅ 30

τ = V 2 I ⋅ 90 2 - 30 2 + 60 x

Passo 5

Por meio de uma integral vamos achar a força atutante na barra B D :

F B D = ∫ τ ⋅ d A

F B D = ∫ V 2 I ⋅ 90 2 - 30 2 + 60 x ⋅ d A

Transformando d A = t ⋅ d x

F B D = ∫ V 2 I ⋅ 90 2 - 30 2 + 60 x ⋅ t ⋅ d x

F B D = V t 2 I ∫ 7200 + 60 x ⋅ d x

F B D = V t 2 I ⋅ 7200 x + 30 x 2 0 b

F B D = V t 2 I ⋅ ( 7200 b + 30 b ² )

Passo 6

Agora a gente vai pegar as duas forças e calcular o momento, mas é importante lembrar que a gente calculou só metade da barra então vamos ter o seguinte no final das contas:

M 1 = M 2

Onde M 1 é o momento da força de A B + F G , ambas tem o mesmo sentido. Enquanto M 2 é o momento da força B D + E F sentidos opostos, logo formam um binário:

M 1 = 2 ⋅ F A B ⋅ b

M 2 = F B D .   60

Substituindo:

M 1 = 2 ⋅ V t 2 I 252000 ⋅ b

M 2 = V t 2 I ⋅ ( 7200 b + 30 b ² ) .   60

Igualando:

2 ⋅ V t 2 I 252000 ⋅ b = V t 2 I ⋅ ( 7200 b + 30 b ² ) .   60

2 ⋅ 252000 ⋅ b = ( 7200 b + 30 b ² ) .   60

2 ⋅ 252000 = ( 7200 + 30 b ) .   60

7200 + 30 b = 8400

30 b = 12 00

b = 4 0   m m

Resposta

b = 40   m m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A viga tem seção transversal retangular e é feita de madeira. Se for submetida a um cisalhamento de V = 20 kN, e a = 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima e trace uma curva da variação da
Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V = 125 kN, determine a força de cisalhamento à qual a alma da viga resistirá.
A viga está sujeita ao carregamento mostrado na figura, onde P = 7 k N . Determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pregos no interior da região AB da viga. Os pregos estão localizados
A escora é construída com três peças de plástico coladas como mostra a figura. Se a carga distribuída w = 3 k N m , determine o fluxo de cisalhamento a qual cada junta colada deve resistir
A escora é construída com três peças de plástico coladas como mostra a figura. Se a tensão de cisalhamento admissível para o plástico for τ a d m = 5,6M P a e cada junta colada puder resistir a 50k N